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Westdeutscher Rundfunk

Leben auf dem Land - Über Landflucht und die neue Landlust

Bei Landleben denkt der Stadtbewohner an Wiesen, Weiden und glückliche Kühe. Die einen schwärmen von der guten Luft, der Ruhe und der Dorfgemeinschaft, die anderen - vor allem Jüngere - fliehen, weil sie keine Perspektive sehen. Wie sieht der Alltag auf dem Land wirklich aus?

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Westdeutscher Rundfunk

Daumen hoch - Wie Youtube unser Bild von der Welt verändert

Bei "Youtube" können alle ihr eigenes Fernsehen erschaffen. Aber Youtube hat sich auch zu einem Sammelbecken von Verschwörungstheorien und extremistischen Inhalten entwickelt. Das hat dramatische Folgen für Jugendliche, die die erfolgreiche Videoplattform als umfassendes Informationsangebot nutzen.

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Westdeutscher Rundfunk

Muskeln - Wie sie uns stark machen

Muskulöse Körper gelten heute bei vielen als schick. Etwa elf Millionen Menschen in Deutschland sind Mitglied in einem Fitnessclub, so viele wie noch nie zuvor. Aber Muskeln sehen nicht nur gut aus: Sie machen stark und gesund. Planet Wissen berichtet über richtiges Training, Kraftsport im Alter und wie Muskeln sogar dem Gehirn helfen können.

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Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 3 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 5 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel über m=tan(?) und Steigungswinkel berechnen, Beispiel 3 | A.22.02

Sucht man den Schnittwinkel zweier Funktionen, kann man das über den Steigungswinkel der Funktionen berechnen. Das geht so: 1.zuerst braucht man natürlich den Schnittpunkt, vor allem dessen x-Wert (nennen wir ihn xS). 2.Nun stellt man sich eine waagerechte Gerade durch diesen Schnittpunkt vor und berechnet für jede der beiden Funktionen den Steigungswinkel im Schnittpunkt (also den Winkel zwischen Funktion und waagerechter Geraden). Das geht, indem man über die Ableitung zuerst die Steigung im Schnittpunkt berechnet und dann über m=tan(alpha) den Steigungswinkel alpha. 3.Im letzten Schritt rechnet man beide Winkel zusammen (also addieren oder subtrahieren, je nachdem ob die Funktionen steigen oder fallen [Vorzeichen der Steigung betrachten!])


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel mit Schnittwinkel-Formel berechnen, Beispiel 3 | A.22.03

Beim Schnittwinkel ist es wie immer im Leben: kaum scheint etwas einfach, hat´s auch schon blöde Seiten. Also: es gibt natürlich auch eine recht einfache Methode, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu berechnen, leider ist die Formel dazu etwas hässlich. Zuerst berechnet man den Schnittpunkt beider Funktionen (falls man ihn nicht schon hat). Danach berechnet man die Steigungen beider Funktionen in diesem Punkt (über die erste Ableitung). Danach kann man den Winkel alpha mit der Schnittwinkelformel bestimmen: tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen verschieben: so wird’s gemacht | A.23.01

Wie kann man Funktion verschieben? Bei einer Verschiebung um “a” nach links, ersetzt man in der Funktion jeden Buchstaben “x” durch “x+a”. Ebenso erreicht man ein Verschieben von Funktionen nach rechts, indem man “x” durch “x-a” ersetzt. Verschiebungen von Funktionen in die y-Richtung sind einfacher. Man verschiebt eine Funktion um einen Wert “b” nach oben oder unten, indem man an die Funktion f(x) diese Zahl dranhängt. Verschieben um “b” nach oben ist somit: “f(x)+b”, Verschieben nach unten ist: “f(x)-b”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen verschieben: so wird’s gemacht, Beispiel 3 | A.23.01

Wie kann man Funktion verschieben? Bei einer Verschiebung um “a” nach links, ersetzt man in der Funktion jeden Buchstaben “x” durch “x+a”. Ebenso erreicht man ein Verschieben von Funktionen nach rechts, indem man “x” durch “x-a” ersetzt. Verschiebungen von Funktionen in die y-Richtung sind einfacher. Man verschiebt eine Funktion um einen Wert “b” nach oben oder unten, indem man an die Funktion f(x) diese Zahl dranhängt. Verschieben um “b” nach oben ist somit: “f(x)+b”, Verschieben nach unten ist: “f(x)-b”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 1 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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