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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 6

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Wurzeln: Was ist das mathematisch überhaupt? Wie kann man eine Wurzel berechnen? B.04

Eine Wurzel ist mathematisch gesehen nichts anderes als eine Potenz. Die normale Wurzel (heißt auch “Quadratwurzel”) entspricht einer Hochzahl von ½. Dritte Wurzeln (heißen auch “Kubikwurzeln”) entsprechen einer Hochzahl von 1/3. Allgemein gilt also: n-te Wurzel schreibt man um zu “hoch 1/n”. Begriffe: Der Term unter dem Wurzelzeichen heißt “Radikand”. Die “Höhe” der Wurzel (bei Quadratwurzel: 2, bei dritter Wurzel: 3, bei vierter Wurzel: 4, …) heißt Wurzelexponent. Ist der Wurzelexponent gerade, muss der Radikand positiv sein. Ist der Wurzelexponent ungerade, kann der Radikand beliebiges Vorzeichen haben.


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Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 1 | A.52.03

Eine Verkettung (oder Verknüpfung) von Funktionen ist eine hintereinander Ausführung von zwei Funktionen. f(g(x)) bedeutet, dass man einen x-Wert hat, diesen setzt man in die Funktion g(x) ein, das Ergebnis setzt man in die Funktion f(x) ein. Es gibt noch andere Schreibweisen. Ausgesprochen wird das Ganze als “f nach g von x”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen berechnen | A.22

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1.beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (sich orthogonal schneiden). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)


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So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 2 - A.53.01

Eine relativ einfache Möglichkeit, eine DGL zu lösen, ist folgende: Die DGL ist gegeben, sowie die Funktion (quasi die Lösung). Die Funktion ist jedoch in Abhängigkeit von Parametern gegeben. Das Ziel ist nun, die Parameter zu bestimmen, um die Funktion vollständig zu kennen. Man erreicht das, indem man die gegebene Funktion (mitsamt Parametern) ableitet und dann sowohl Funktion als auch Ableitung in die DGL einsetzt.


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Differentialgleichung: Was ist eine DGL und wie rechnet man damit? - A.53

Eine Differenzialgleichung (andere Schreibweise: Differentialgleichung) (kurz: DGL) ist eine Gleichung in welcher Ableitung und Funktion auftauchen. Eine DGL beschreibt daher einen Zusammenhang zwischen der Änderung des Bestands und dem Bestand selber. Der Schwierigkeitsgrad beginnt "relativ einfach" (?Kap.4.3.1). Dann geht’s recht schnell mit dem Niveau aufwärts. Spätestens ab Kap.4.3.3 haben wir den Schulstoff verlassen.


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So löst man eine Differentialgleichung DGL | A.53.01

Eine relativ einfache Möglichkeit, eine DGL zu lösen, ist folgende: Die DGL ist gegeben, sowie die Funktion (quasi die Lösung). Die Funktion ist jedoch in Abhängigkeit von Parametern gegeben. Das Ziel ist nun, die Parameter zu bestimmen, um die Funktion vollständig zu kennen. Man erreicht das, indem man die gegebene Funktion (mitsamt Parametern) ableitet und dann sowohl Funktion als auch Ableitung in die DGL einsetzt.


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So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 3 | A.53.01

Eine relativ einfache Möglichkeit, eine DGL zu lösen, ist folgende: Die DGL ist gegeben, sowie die Funktion (quasi die Lösung). Die Funktion ist jedoch in Abhängigkeit von Parametern gegeben. Das Ziel ist nun, die Parameter zu bestimmen, um die Funktion vollständig zu kennen. Man erreicht das, indem man die gegebene Funktion (mitsamt Parametern) ableitet und dann sowohl Funktion als auch Ableitung in die DGL einsetzt.


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So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 1 | A.53.01

Eine relativ einfache Möglichkeit, eine DGL zu lösen, ist folgende: Die DGL ist gegeben, sowie die Funktion (quasi die Lösung). Die Funktion ist jedoch in Abhängigkeit von Parametern gegeben. Das Ziel ist nun, die Parameter zu bestimmen, um die Funktion vollständig zu kennen. Man erreicht das, indem man die gegebene Funktion (mitsamt Parametern) ableitet und dann sowohl Funktion als auch Ableitung in die DGL einsetzt.


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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen | A.53.03

Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)


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