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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 4 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 1 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Näherungsverfahren und Näherungslösungen | A.32

Sie werden es vielleicht nicht glauben, aber Mathematik kann man für die Praxis anwenden. Und da reichen meist Näherungslösungen. Es gibt Näherungslösungen um Gleichungen zu lösen (Newton-Verfahren, Intervallhalbierung), es gibt Näherungsverfahren um Flächen/Integrale zu berechnen (Keplersche Fassregel, Simpson-Formel) und man kann komplizierte Funktionen durch einfache Funktionen annähern (mit der Taylorentwicklung).


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WDR - Westdeutscher Rundfunk (Köln)

Die Geschichte der Mathematik / The Story of maths: Die Grenzen des Raumes

Im 17. Jahrhundert übernahm Europa vom Nahen Osten die Vorreiterrolle in Sachen Mathematik. Piero della Francesca war nicht nur Maler sondern auch Mathematiker, er perfektionierte die Perspektive in der italienischen Malerei. Sein Werk war der Beginn eines neuen Geometrieverständnisses. Der französische Mathematiker und Philosoph René Decartes verband Algebra mit Geometrie, ein Schritt, der die Welt der Mathematik entscheidend verändern sollte. Die Universitäten von Oxford und Cambridge bildeten im 17. Jahrhundert einige führende Mathematiker aus, einer von ihnen: Isaac Newton. Er entwickelte eine neue Theorie des Lichts, entdeckte die Gravitation und skizzierte einen revolutionären Ansatz zur Mathematik: Die Infinitesimalrechnung. Newtons Berechnungen machten es möglich, die Welt in ihren Veränderungen zu begreifen.

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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 3 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 2 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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