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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 4 | A.51.01
Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.
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Allgemeinbildende Schule Berufliche Bildung Erwachsenenbildung Hochschulbildung Lehrerfort- und Weiterbildung Sekundarstufe IFach- und Sachgebiete
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Analysis Analytische Geometrie E-Learning Funktion (Mathematik) Geometrie Gradient Hesse-Matrix Höhere Mathematik Mathematik Mehrdimensionale Funktion Partielle Ableitung Vektor VideoSprachen
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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 2 | A.51.01
Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.
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Analysis 5 | Höhere Mathematik, wie man mit ihr rechnet und wer diese Themen beherrschen sollte
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mit L'Hospital Grenzwerte bestimmen, Beispiel 3 | A.52.02
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mit L'Hospital Grenzwerte bestimmen | A.52.02
- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 2 | A.51.01
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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 5 | A.51.01
Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.
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- Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form | A.54.03
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- Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 4 | A.53.02
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- Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 3 | A.55.02
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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 4 | A.53.02
Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: “dy/dx”, multipliziert die gesamte Gleichung mit “dx” und versucht nun auch im Folgenden, alle “x” auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle “y” auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante “+c” nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein “x”-Wert und ein zugehöriger “y”-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante “c” bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich “Trennung der Variablen” oder “Variablentrennung”.
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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 2 | A.53.04
Bei einer homogenen DGL höherer Ordnung sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms entscheidend. Das charakteristische Polynom erhält man, in dem man in der DGL f' durch x ersetzt, f'' durch x^2, f''' durch x^3, usw. Diese Gleichung löst man (oft nicht einfach) und betrachtet die Lösungen. Der Lösungsansatz hängt von zwei Faktoren ab: 1. ist die Lösung des charakteristischen Polynoms reell oder komplex? und 2. ist die Lösung einfach, doppelt, dreifach...
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Ableitung Analysis Charakteristisches Polynom Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Höhere Ordnung Koeffizient Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Variable VideoSprachen
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Analysis 5 | Höhere Mathematik, wie man mit ihr rechnet und wer diese Themen beherrschen sollte
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 5
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mit L'Hospital Grenzwerte bestimmen, Beispiel 1 | A.52.02
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Inhomogene Differentialgleichung über partikuläre Lösung lösen, Beispiel 4 | A.53.05
Bei einer inhomogenen DGL höherer Ordnung macht man zwei Schritte (beide sind lang). Im ersten Schritt löst man die zugehörige homogene DGL. Die zugehörige Lösung ist der erste Teil der Gesamtlösung. Im zweiten Schritt versucht man die “spezielle Lösung” oder “partikuläre Lösung” zu finden. Diese ist meistens vom gleichen Typ, wie die Störfunktion. (Die Störfunktion ist der Term ohne “f”, welcher die DGL inhomogen macht). Viel Glück!
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Ableitung Analysis Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Höhere Ordnung Inhomogene Differentialgleichung Koeffizient Koordinate Mathematik Parameter Partikuläre Lösung Variable VideoSprachen
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