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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 2 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 7 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 4 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 5 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 1 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 6 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Wurzeln: Was ist das mathematisch überhaupt? Wie kann man eine Wurzel berechnen? B.04

Eine Wurzel ist mathematisch gesehen nichts anderes als eine Potenz. Die normale Wurzel (heißt auch “Quadratwurzel”) entspricht einer Hochzahl von ½. Dritte Wurzeln (heißen auch “Kubikwurzeln”) entsprechen einer Hochzahl von 1/3. Allgemein gilt also: n-te Wurzel schreibt man um zu “hoch 1/n”. Begriffe: Der Term unter dem Wurzelzeichen heißt “Radikand”. Die “Höhe” der Wurzel (bei Quadratwurzel: 2, bei dritter Wurzel: 3, bei vierter Wurzel: 4, …) heißt Wurzelexponent. Ist der Wurzelexponent gerade, muss der Radikand positiv sein. Ist der Wurzelexponent ungerade, kann der Radikand beliebiges Vorzeichen haben.


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Simulation, Website

Mathe online.at

Digitale Medien in der Mathematikausbildung - Mathe Online

Das Projekt Neue Medien in der Mathematik-Ausbildung wurde im Rahmen der zweiten Ausschreibungsrunde der Initiative Neue Medien in der Lehre des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Kultur (2001/2) eingereicht und im August 2002 angenommen. Es besteht aus einem Konsortium von 9 (ursprünglich 10) Partnerinstitutionen und begann im September 2002 mit einem am Technikum Kärnten abgehaltenen Kickoff-Meeting. Im Rahmen des Projekts werden Elemente elektronisch unterstützten Lernens in ausgewählte Lehrveranstaltungen an Universitäten, Fachhochschulen und einer Pädagogischen Akademie integriert. Dabei sind sowohl die "reine" Mathematik, als auch Fächer, in denen Mathematik als Hilfswissenschaft dient, beteiligt. Die Hauptziele des Projekts sind, Studierende in der Studieneingangsphase verständnisfördernd zu unterstützen: Integration Neuer Medien in den Vorlesungs- (und Übungs-)alltag Entwicklung dafür benötigter Materialien und Werkzeuge Erprobung technischer Lösungen, die das Abhalten von Live-Ereignissen ermöglichen, auf Eignung hinsichtlich der Kommunikation über mathematische Inhalte Erstellen audiovisueller Vortragssequenzen zu mathematischen Schlüsselbegriffen Besonderes Anliegen ist es, den StudienanfängerInnen der beteiligten Fächer die Bewältigung der neuen Anforderungen, insbesondere den Übergang von der Schulmathematik (AHS/BHS) zu den an Universitäten und Fachhochschulen gelehrten Inhalten, zu erleichtern. Weitere Ziele bestehen darin, die Kompetenz der Lehrenden hinsichtlich der Einsatzmöglichkeiten Neuer Medien zu erhöhen und Hilfestellungen für zukünftige Aktivitäten in diesem Bereich auszuarbeiten. mathe online dient dem Projekt als Web-Platform und wird die entwickelten Materialien und Dokumente (auch in Zukunft) bereitstellen. Die Zusammensetzung des Projektkonsortiums stellt sowohl hinsichtlich der beteiligten Fächer als auch in Bezug auf Rahmenbedingungen, Erfahrungen und Ressourcen ein breites Spektrum dar, das die Entwicklung inhaltlicher, didaktischer, technischer und organisatorischer Innovationen für die Mathematik-Ausbildung als realistische Zielsetzung erscheinen lässt.

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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 4 | A.53.02

Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: “dy/dx”, multipliziert die gesamte Gleichung mit “dx” und versucht nun auch im Folgenden, alle “x” auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle “y” auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante “+c” nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein “x”-Wert und ein zugehöriger “y”-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante “c” bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich “Trennung der Variablen” oder “Variablentrennung”.


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