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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mehrdimensionale Funktion: Extrempunkte berechnen, Beispiel 5 | A.51.02

Extrempunkte einer mehrdimensionalen Funktion berechnet man (wie bei einfachen Funktionen auch), indem man die erste Ableitung Null setzt. Bei mehrdimensionalen Funktionen gibt es nicht EINE erste Ableitung mit einer Unbekannten, sondern mehrere (partielle) erste Ableitungen mit mehreren Unbekannten, so dass man immer mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen muss. Das Überprüfen in der zweiten Ableitung (“Hesse-Matrix”) geht nach einem vorgegebenen Schema (wird im Hauptfilm erläutert).


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Mathe online.at

Digitale Medien in der Mathematikausbildung - Mathe Online

Das Projekt Neue Medien in der Mathematik-Ausbildung wurde im Rahmen der zweiten Ausschreibungsrunde der Initiative Neue Medien in der Lehre des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Kultur (2001/2) eingereicht und im August 2002 angenommen. Es besteht aus einem Konsortium von 9 (ursprünglich 10) Partnerinstitutionen und begann im September 2002 mit einem am Technikum Kärnten abgehaltenen Kickoff-Meeting. Im Rahmen des Projekts werden Elemente elektronisch unterstützten Lernens in ausgewählte Lehrveranstaltungen an Universitäten, Fachhochschulen und einer Pädagogischen Akademie integriert. Dabei sind sowohl die "reine" Mathematik, als auch Fächer, in denen Mathematik als Hilfswissenschaft dient, beteiligt. Die Hauptziele des Projekts sind, Studierende in der Studieneingangsphase verständnisfördernd zu unterstützen: Integration Neuer Medien in den Vorlesungs- (und Übungs-)alltag Entwicklung dafür benötigter Materialien und Werkzeuge Erprobung technischer Lösungen, die das Abhalten von Live-Ereignissen ermöglichen, auf Eignung hinsichtlich der Kommunikation über mathematische Inhalte Erstellen audiovisueller Vortragssequenzen zu mathematischen Schlüsselbegriffen Besonderes Anliegen ist es, den StudienanfängerInnen der beteiligten Fächer die Bewältigung der neuen Anforderungen, insbesondere den Übergang von der Schulmathematik (AHS/BHS) zu den an Universitäten und Fachhochschulen gelehrten Inhalten, zu erleichtern. Weitere Ziele bestehen darin, die Kompetenz der Lehrenden hinsichtlich der Einsatzmöglichkeiten Neuer Medien zu erhöhen und Hilfestellungen für zukünftige Aktivitäten in diesem Bereich auszuarbeiten. mathe online dient dem Projekt als Web-Platform und wird die entwickelten Materialien und Dokumente (auch in Zukunft) bereitstellen. Die Zusammensetzung des Projektkonsortiums stellt sowohl hinsichtlich der beteiligten Fächer als auch in Bezug auf Rahmenbedingungen, Erfahrungen und Ressourcen ein breites Spektrum dar, das die Entwicklung inhaltlicher, didaktischer, technischer und organisatorischer Innovationen für die Mathematik-Ausbildung als realistische Zielsetzung erscheinen lässt.

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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Schnittwinkel von Geraden berechnen, Beispiel 2 | A.02.16

Es gibt nur zwei Formeln, um Winkel zu berechnen. Die eine Formel, die wir hier behandeln, sieht zwar nicht ganz einfach aus, hat den großen Vorteil, dass die Rechnungen sehr einfach werden. Die Formel lautet “tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2)”. Hierbei sind “m1” und “m2” die Steigungen der beiden Geraden. Man setzt “m1” und “m2” in die Formel ein und erhält den Schnittwinkel “alpha”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen berechnen | A.22

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1.beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (sich orthogonal schneiden). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Winkel und Anstiegswinkel von Geraden berechnen, Beispiel 2 | A.02.15

Es gibt nur zwei Formeln, um Winkel zu berechnen. Die etwas hässlichere Formel finden Sie im nächsten Kapitel. Die einfachere Formel lautet “m=tan(alpha)”. Hierbei ist “m” die Steigung der Geraden und alpha immer der Winkel zwischen dieser Geraden und der x-Achse (oder einer anderen waagerechten Gerade). Diesen Winkel nennt man auch Anstiegswinkel. Will man den Schnittwinkel zwischen ZWEI Geraden berechnen, muss man für jede den Anstiegswinkel berechnen und diese dann zusammenzählen (oder abziehen, wenn beide Geraden steigen oder wenn beide fallen).


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Schnittwinkel von Geraden berechnen, Beispiel 1 | A.02.16

Es gibt nur zwei Formeln, um Winkel zu berechnen. Die eine Formel, die wir hier behandeln, sieht zwar nicht ganz einfach aus, hat den großen Vorteil, dass die Rechnungen sehr einfach werden. Die Formel lautet “tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2)”. Hierbei sind “m1” und “m2” die Steigungen der beiden Geraden. Man setzt “m1” und “m2” in die Formel ein und erhält den Schnittwinkel “alpha”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel mit Schnittwinkel-Formel berechnen, Beispiel 3 | A.22.03

Beim Schnittwinkel ist es wie immer im Leben: kaum scheint etwas einfach, hat´s auch schon blöde Seiten. Also: es gibt natürlich auch eine recht einfache Methode, den Schnittwinkel zwischen zwei Funktionen zu berechnen, leider ist die Formel dazu etwas hässlich. Zuerst berechnet man den Schnittpunkt beider Funktionen (falls man ihn nicht schon hat). Danach berechnet man die Steigungen beider Funktionen in diesem Punkt (über die erste Ableitung). Danach kann man den Winkel alpha mit der Schnittwinkelformel bestimmen: tan(alpha)=(m2-m1)/(1+m1*m2).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 3 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 5 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel über m=tan(?) und Steigungswinkel berechnen, Beispiel 3 | A.22.02

Sucht man den Schnittwinkel zweier Funktionen, kann man das über den Steigungswinkel der Funktionen berechnen. Das geht so: 1.zuerst braucht man natürlich den Schnittpunkt, vor allem dessen x-Wert (nennen wir ihn xS). 2.Nun stellt man sich eine waagerechte Gerade durch diesen Schnittpunkt vor und berechnet für jede der beiden Funktionen den Steigungswinkel im Schnittpunkt (also den Winkel zwischen Funktion und waagerechter Geraden). Das geht, indem man über die Ableitung zuerst die Steigung im Schnittpunkt berechnet und dann über m=tan(alpha) den Steigungswinkel alpha. 3.Im letzten Schritt rechnet man beide Winkel zusammen (also addieren oder subtrahieren, je nachdem ob die Funktionen steigen oder fallen [Vorzeichen der Steigung betrachten!])


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