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Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 1 | A.52.03

Eine Verkettung (oder Verknüpfung) von Funktionen ist eine hintereinander Ausführung von zwei Funktionen. f(g(x)) bedeutet, dass man einen x-Wert hat, diesen setzt man in die Funktion g(x) ein, das Ergebnis setzt man in die Funktion f(x) ein. Es gibt noch andere Schreibweisen. Ausgesprochen wird das Ganze als “f nach g von x”.


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So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 1 | A.53.01

Eine relativ einfache Möglichkeit, eine DGL zu lösen, ist folgende: Die DGL ist gegeben, sowie die Funktion (quasi die Lösung). Die Funktion ist jedoch in Abhängigkeit von Parametern gegeben. Das Ziel ist nun, die Parameter zu bestimmen, um die Funktion vollständig zu kennen. Man erreicht das, indem man die gegebene Funktion (mitsamt Parametern) ableitet und dann sowohl Funktion als auch Ableitung in die DGL einsetzt.


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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen | A.53.03

Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)


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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen | A.53.02

Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: “dy/dx”, multipliziert die gesamte Gleichung mit “dx” und versucht nun auch im Folgenden, alle “x” auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle “y” auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante “+c” nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein “x”-Wert und ein zugehöriger “y”-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante “c” bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich “Trennung der Variablen” oder “Variablentrennung”.


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Injektiv, surjektiv, bijektiv: wie oft wird der y-Wert einer Funktion angenommen, Beispiel 4

Bei Injektivität, Surjektivität und Bijektivität interessiert man sich dafür, wie oft die y-Werte einer Funktion (oder Abbildung) angenommen werden. Wird jeder y-Wert der Funktion höchstens einmal angenommen (also einmal oder keinmal) nennt man die Funktion injektiv (auch linkseindeutig oder linkstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion mindestens einmal angenommen (also einmal oder öfter) nennt man die Funktion surjektiv (auch rechtseindeutig oder rechtstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion genau einmal angenommen nennt man die Funktion bijektiv (auch eineindeutig).


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Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 3 | A.55.01

Die Zinseszinsrechnung kennt man bereits von der Prozentrechnung aus der Mittelstufe (siehe auch Kap.A.08). Man wendet sie an, wenn anfangs ein Kapital vorhanden ist und dieses nun über mehrere Jahre/Monate/Tage/... verzinst wird. (Zwischendrin wird also nichts mehr ein- oder ausbezahlt). Die Formel lautet: K(n)=K(0)*q^n. Hierbei ist K(n) das Endkapital, K(0) das Anfangskapital, n die Anzahl der Zeiteinheiten (meist Monate oder Jahre) und q ist der sogenannte Wachstumsfaktor, für den gilt: q=1+p/100.


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Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 1 | A.55.01

Die Zinseszinsrechnung kennt man bereits von der Prozentrechnung aus der Mittelstufe (siehe auch Kap.A.08). Man wendet sie an, wenn anfangs ein Kapital vorhanden ist und dieses nun über mehrere Jahre/Monate/Tage/... verzinst wird. (Zwischendrin wird also nichts mehr ein- oder ausbezahlt). Die Formel lautet: K(n)=K(0)*q^n. Hierbei ist K(n) das Endkapital, K(0) das Anfangskapital, n die Anzahl der Zeiteinheiten (meist Monate oder Jahre) und q ist der sogenannte Wachstumsfaktor, für den gilt: q=1+p/100.


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Cardanische Formel zur Lösung einer Gleichung dritten Grades - A.54.08

Es gibt tatsächlich eine Lösungsformel, mit welcher man Gleichungen dritten Grades lösen kann (ähnlich wie die p-q-Formel oder a-b-c-Formel bei quadratischen Gleichungen). Diese Formel heißt Cardanische Formel (oder Cardanische Lösungsformel). Sie ist ziemlich abgefahren, hässlich und lang. Desweiteren braucht man die Theorien der komplexen Zahlen dafür. Eigentlich braucht auch kein Mensch die Lösungsformel (grad weil sie so hässlich ist). Aber sie sollen ja nicht dumm sterben (und UNS hat das Filmen Spaß gemacht).


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Inhomogene Differentialgleichung über partikuläre Lösung lösen, Beispiel 5 | A.53.05

Bei einer inhomogenen DGL höherer Ordnung macht man zwei Schritte (beide sind lang). Im ersten Schritt löst man die zugehörige homogene DGL. Die zugehörige Lösung ist der erste Teil der Gesamtlösung. Im zweiten Schritt versucht man die “spezielle Lösung” oder “partikuläre Lösung” zu finden. Diese ist meistens vom gleichen Typ, wie die Störfunktion. (Die Störfunktion ist der Term ohne “f”, welcher die DGL inhomogen macht). Viel Glück!


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Komplexe Zahlen potenzieren, Beispiel 3 | A.54.05

Will man komplexe Zahlen quadrieren, so ist es völlig egal, welche Form die Zahl hat. (In kartesischer Form wendet man binomische Formel an, in Polarform: siehe nächsten Sätze). Zahlen in Polarform sind super-einfach zu potenzieren. Man wendet einfach eine Potenzregel an und ist fertig. Grafisch geht Potenzieren so: Annahme die neue Hochzahl ist “n”. Der Betrag der neuen Zahl ist der alte Betrag hoch “n”. Das neuer Argument (=Winkel) erhält man, indem man das alte Argument mit “n” multipliziert.


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