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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Tangentialebene: Tangente einer mehrdimensionalen Funktion, Beispiel 1 | A.51.03

Eine Tangente ist bei einer Funktion mit mehreren Variablen keine Gerade, sondern eine Tangentialebene oder ein Tangentialraum (Letzteres brauchen Sie vermutlich nie). Es gibt recht viele Ansätze und Formeln dafür, die jedoch letztendlich alle auf das Gleiche führen. In jedem Fall braucht man die partiellen (ersten) Ableitungen der Funktion. Wir verwenden eine recht einfache Formel zur Berechnung.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion ableiten, Beispiel 1 | A.45.01

Um eine Wurzel abzuleiten, muss man sie umschreiben. Die normale Wurzel schreibt um, zu einer Klammer mit der Hochzahl “0,5”. Nun wendet man die Kettenregel an und kann differenzieren (ableiten). (Die Berechnung der Definitionsmenge ist zwingend erforderlich.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Wurzelfunktionen, Beispiel 1 | A.45.04

Bei hässlichen Stammfunktionen, die eine Wurzel enthalten, braucht man meist die Substitution oder die Produktintegration (partielle Integration). Ziemlich sicher muss man die Wurzel auch noch umschreiben und dann mittels Kettenregel integrieren.


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Definitionsmenge einer Funktion bestimmen, Beispiel 4 | A.11.05

Der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge ist die Menge aller x-Werte, die man in eine Funktion einsetzen DARF. Die Definitionsmenge wirft Probleme auf, wenn der Nenner ein “x” enthält sowie bei Wurzeln und bei Logarithmen (dazu noch bei ein paar weniger wichtigen Funktionen). Nenner dürfen nicht Null werden, unter Wurzeln darf nichts Negatives stehen (speziell unter geraden Wurzeln, also “normale” Quadratwurzel, vierte Wurzel, ...), ebenso darf der Logarithmus nur auf etwas Positives angewendet werden. Dann kann man die Definitionsmenge bestimmen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Ableitung von komplizierten Wurzelfunktionen, Beispiel 2 | A.45.02

Bei hässlichen Ableitungen, die eine Wurzel enthalten, braucht man vermutlich eine der Ableitungsregeln, also die Produktregel oder evtl. Quotientenregel. Ziemlich sicher muss man die Wurzel auch noch umschreiben und dann mittels Kettenregel ableiten.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion: Asymptote und Grenzwert berechnen | A.45.06

Wurzelfunktionen haben an und für sich keine Asymptoten. Wenn Wurzelfunktionen jedoch Brüche oder sonstige komplizierte Zusätze haben, geht das jedoch. Man geht also folgendermaßen vor: Man bestimmt zuerst die Definitionsmenge. Nun lässt man x einmal gegen die linke Grenze der Definitionsmenge laufen, danach gegen die rechte Grenze. Je nach dem, was da raus kommt, hat man das asymptotische Verhalten bestimmt. (Falls x gegen Unendlich läuft und die y-Werte gegen eine Zahl, hat man eine waagerechte Asymptote. Falls x gegen eine Zahl läuft und die y-Werte gegen Unendlich, hat man eine senkrechte Asymptote.)


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Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion bestimmen, Beispiel 5 | A.28.03

Bei einer Funktion und einer Umkehrfunktion sind Definitionsmenge und Wertemenge einfach vertauscht. Die Definitionsmenge der Funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion und umgekehrt. (Zur Erinnerung: eine Definitionsmenge besteht aus allen x-Werten, die man einsetzen darf, die Wertemenge sind alle y-Werte die bei einer Funktion rauskommen können.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktion ableiten, Beispiel 2 | A.44.02

Die Ableitung einer ln-Funktion erhält man, in dem man das Argument des Logarithmus in den Nenner setzt. (Also 1 durch Argument). Hinter den Bruch muss natürlich noch die innere Ableitung gesetzt werden, man wendet demnach die Kettenregel an.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer Wurzelfunktion erstellen, Beispiel 1 | A.45.07

Wurzel-Funktionen zeichnet man über das asymptotische Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs. Falls man Nullstellen oder Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt, zeichnet man diese ebenfalls ein und sollte nun die Funktion zeichnen können. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktion: kurze Einführung | A.44

Logarithmusfunktionen erkennt man typischerweise am Logarithmus. Das ist eine gute Erkenntnis. Typisch an der Skizze einer Logarithmusfunktion ist die senkrechte Asymptote, wobei die Funktion jedoch entweder nur links oder nur rechts der Asymptote existiert.


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