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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion: Übungen und Beispiele, Beispiel 1 | A.45.09

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von Wurzel-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Definitionsmenge, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion integrieren bzw. aufleiten | A.45.03

Um die Stammfunktion einer Wurzel zu bestimmen, muss man sie umschreiben. Die normale Wurzel schreibt um, zu einer Klammer mit der Hochzahl “0,5”. Nun wendet man die (umgekehrte) Kettenregel an und kann integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 2 | A.45.03

Um die Stammfunktion einer Wurzel zu bestimmen, muss man sie umschreiben. Die normale Wurzel schreibt um, zu einer Klammer mit der Hochzahl “0,5”. Nun wendet man die (umgekehrte) Kettenregel an und kann integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Wurzelfunktionen, Beispiel 3 | A.45.04

Bei hässlichen Stammfunktionen, die eine Wurzel enthalten, braucht man meist die Substitution oder die Produktintegration (partielle Integration). Ziemlich sicher muss man die Wurzel auch noch umschreiben und dann mittels Kettenregel integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion ableiten, Beispiel 3 | A.45.01

Um eine Wurzel abzuleiten, muss man sie umschreiben. Die normale Wurzel schreibt man um, zu einer Klammer mit der Hochzahl “0,5”. Nun wendet man die Kettenregel an und kann differenzieren (ableiten). (Die Berechnung der Definitionsmenge ist zwingend erforderlich.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 2 | A.45.06

Wurzelfunktionen haben an und für sich keine Asymptoten. Wenn Wurzelfunktionen jedoch Brüche oder sonstige komplizierte Zusätze haben, geht das jedoch. Man geht also folgendermaßen vor: Man bestimmt zuerst die Definitionsmenge. Nun lässt man x einmal gegen die linke Grenze der Definitionsmenge laufen, danach gegen die rechte Grenze. Je nach dem, was da raus kommt, hat man das asymptotische Verhalten bestimmt. (Falls x gegen Unendlich läuft und die y-Werte gegen eine Zahl, hat man eine waagerechte Asymptote. Falls x gegen eine Zahl läuft und die y-Werte gegen Unendlich, hat man eine senkrechte Asymptote.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer Wurzelfunktion erstellen, Beispiel 3 | A.45.07

Wurzel-Funktionen zeichnet man über das asymptotische Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs. Falls man Nullstellen oder Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt, zeichnet man diese ebenfalls ein und sollte nun die Funktion zeichnen können. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Aus dem Schaubild einer Wurzelfunktion die Funktionsgleichung erstellen, Beispiel 1 | A.45.08

Beim Zeichnen von Wurzelfunktionen, ist der “Anfangspunkt” wichtig. Nennen wir den Punkt R mit den Koordinaten R(r|s). Zeigt das Schaubild der Wurzel nach rechts, so ist der Ansatz: f(x)=a·wurzelaus(x-r)+s. Zeigt das Schaubild der Wurzel nach links, so ist der Ansatz: f(x)=a·wurzelaus(-x+r)+s. Den Parameter “a” erhält man, indem man einen beliebigen Punkt einsetzt.


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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen, Beispiel 2 - A.53.03

Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von "x" ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante "c" durch eine Funktion "c(x)". Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion "c(x)". (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die "Produktintegration" oder "Integration durch Substitution".)


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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 2 - A.53.02

Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: "dy/dx", multipliziert die gesamte Gleichung mit "dx" und versucht nun auch im Folgenden, alle "x" auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle "y" auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante "+c" nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein "x"-Wert und ein zugehöriger "y"-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante "c" bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich "Trennung der Variablen" oder "Variablentrennung".


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