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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 1 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Hochpunkte und Tiefpunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 3 | A.05.03

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die x-Werte Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt. (Ist das Ergebnis von f''(x) negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist f''(x) positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt.) Setzt man den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) ein, erhält man den y-Wert des Extrempunkts


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Hochpunkte und Tiefpunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 1 | A.05.03

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die x-Werte Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt. (Ist das Ergebnis von f''(x) negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist f''(x) positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt.) Setzt man den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) ein, erhält man den y-Wert des Extrempunkts


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktionen: Rechenbeispiele zur Funktionsanalyse | A.44.09

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von Logarithmus-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Definitionsmenge, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer trigonometrischen Funktion, Beispiel 3 | A.42.11

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von trigonometrischen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Periode der Funktion und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Bedingungen aufstellen, Beispiel 3 | A.46.05

Um Polynome aufzustellen gibt es eigentlich nur drei Typen von Informationen: 1). Punkte. In diesem Fall setzt man x- und y-Wert in f(x) ein [=Inzidenzbedingung]. 2).Steigungen. In diesem Fall setzt man x-Wert und Steigung in f'(x) ein. 3). Hoch-, Tief- oder Wendepunkt. In diesem Fall setzt man f'(x)=0 bzw. f''(x)=0 und setzt für x den entsprechenden x-Wert ein. Hat man dies alles getan erhält man ein Gleichungssystem, welches man lösen muss. Eine Erweiterung dessen ist der Fall, dass zwei Funktionen in einander übergehen sollen. (Nennen wir die Funktionen f(x) und g(x).) Der x-Wert des Übergangs ist eigentlich immer bekannt, wir nennen ihn x=a. Eine der Funktionen ist gegeben, die andere muss aufgestellt werden (=modelliert werden). 1).Gehen die Funktionen nur in einander über, gilt f(a)=g(a) [dieser Fall tritt de facto nie auf]. 2).Gehen die Funktionen “glatt” oder “knickfrei” in einander über, so gilt: f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a). 3).Gehen die Funktionen “ruckfrei” in einander über, so gilt f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a) und f''(a)=g''(a)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer Logarithmusfunktion erstellen, Beispiel 5 | A.44.07

ln-Funktionen zeichnet man über das asymptotische Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs. Falls man Nullstellen oder Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt, zeichnet man diese ebenfalls ein und sollte nun die Funktion zeichnen können. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Aus dem Schaubild einer trigonometrischen Funktion die Funktionsgleichung erstellen, Beispiel 2

Es gibt einen Haufen periodischer Vorgänge in der Natur. Z.B. sieht man öfter die Aufgabe, dass monatliche Durchschnittstemperaturen angeben sind, diese werden als Punkte eingezeichnet und die Funktion kann eingezeichnet werden. Nun braucht man die Funktionsgleichung, die die Temperatur beschreibt. Wie geht man vor? Die waagerechte Mittellinie d liest man zuerst aus. Der Abstand hiervon zu den Hoch- bzw. Tiefpunkten ist die Amplitude a. Der Abstand zwischen zwei Tiefpunkten oder zwischen zwei Hochpunkten ist die Periode. Daraus kann man b bestimmen. Zum Schluss liest man c aus (welches der x-Wert vom Hochpunkt [bei cos] bzw. der x-Wert des Wendepunkts [bei sin] ist). Die Parameter setzt man in y=a·sin(b[x-c])+d ein.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion erstellen, Beispiel 1 | A.43.08

Gebrochen-rationale Funktionen zeichnet man am besten über die Asymptoten. Man zeichnet also zuerst die Asymptoten, danach eventuell Nullstellen (falls man Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt zeichnet man diese ebenfalls ein) und versucht die Funktion zu zeichnen. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen. Das sollte für das Zeichnen ausreichen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Bedingungen aufstellen, Beispiel 5 | A.46.05

Um Polynome aufzustellen gibt es eigentlich nur drei Typen von Informationen: 1). Punkte. In diesem Fall setzt man x- und y-Wert in f(x) ein [=Inzidenzbedingung]. 2).Steigungen. In diesem Fall setzt man x-Wert und Steigung in f'(x) ein. 3). Hoch-, Tief- oder Wendepunkt. In diesem Fall setzt man f'(x)=0 bzw. f''(x)=0 und setzt für x den entsprechenden x-Wert ein. Hat man dies alles getan erhält man ein Gleichungssystem, welches man lösen muss. Eine Erweiterung dessen ist der Fall, dass zwei Funktionen in einander übergehen sollen. (Nennen wir die Funktionen f(x) und g(x).) Der x-Wert des Übergangs ist eigentlich immer bekannt, wir nennen ihn x=a. Eine der Funktionen ist gegeben, die andere muss aufgestellt werden (=modelliert werden). 1).Gehen die Funktionen nur in einander über, gilt f(a)=g(a) [dieser Fall tritt de facto nie auf]. 2).Gehen die Funktionen “glatt” oder “knickfrei” in einander über, so gilt: f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a). 3).Gehen die Funktionen “ruckfrei” in einander über, so gilt f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a) und f''(a)=g''(a)


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