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Annuitätenrechnung und Tilgungsrechnung: so berechnet man Annuitäten richtig, Beispiel 2 | A.55.03

Nimmt man einen Kredit auf, den man natürlich tilgen will, setzt sich das aus einer Zinseszinsrechnung und einer Rentenrechnung zusammen. Die Formel für die Berechnung des Endkapitals lautet: K(n)=K(0)*q^n-R*(q^n-1)/(q-1). K(n) ist das Endkapital, K(0) der anfängliche Kredit, R die regelmäßige Rate (=Annuität) und für q gilt q=1+p/100. (Bemerkung: Die Formel ist auch als “Sparkassenformel” oder “Investitionsrechnung” bekannt).


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Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 1 - A.55.02

Wenn man z.B. monatlich einen bestimmten Betrag bei der Bank einzahlt und das Ganze verzinst wird, nennt man das Ratensparen oder Rentenrechnung oder Ratenzahlung. Das Endkapital "K" nach n Zeiteinheiten berechnet man mit der Formel: K=R*(q^n-1)/(q-1). "R" ist die regelmäßige Rate die einbezahlt wird, "q" ist der Wachstumsfaktor für den gilt: q=1+p/100. (Zumindest gilt die Formel bei nachschüssiger Verzinsung.) Bei vorschüssiger Verzinsung, wenn also die Rate am Anfang und die Verzinsung am Ende der Periode erfolgt, steht hinter dem Bruch noch ein "q".


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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig | A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man “Barwert” nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann “Endwert” nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft “Zinsfuß” genannt, das gesamte Verfahren; heißt “Methode des internen Zinsfuß” oder “Methode des internen Zinssatzes” oder einfach kurz “IZF” (englisch: “IRR” = “Internal Rate of Return”).


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Cardanische Formel zur Lösung einer Gleichung dritten Grades, Beispiel 2 - A.54.08

Es gibt tatsächlich eine Lösungsformel, mit welcher man Gleichungen dritten Grades lösen kann (ähnlich wie die p-q-Formel oder a-b-c-Formel bei quadratischen Gleichungen). Diese Formel heißt Cardanische Formel (oder Cardanische Lösungsformel). Sie ist ziemlich abgefahren, hässlich und lang. Desweiteren braucht man die Theorien der komplexen Zahlen dafür. Eigentlich braucht auch kein Mensch die Lösungsformel (grad weil sie so hässlich ist). Aber sie sollen ja nicht dumm sterben (und UNS hat das Filmen Spaß gemacht).


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Komplexer Logarithmus und sonstige Probleme zu komplexen Zahlen, Beispiel 2 - A.54.07

In Verbindung mit komplexen Zahlen tauchen öfter Aufgaben und Problemchen auf, für die keine besondere Theorie notwendig ist. Z.B. ist das der komplexe Logarithmus oder Produkte aus komplexen Zahlen und e-Termen. Was auch immer Sie begegnen: versuchen Sie alles in kartesische Form umzuwandeln oder noch besser: alles in Polarform.


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Komplexer Logarithmus und sonstige Probleme zu komplexen Zahlen - A.54.07

In Verbindung mit komplexen Zahlen tauchen öfter Aufgaben und Problemchen auf, für die keine besondere Theorie notwendig ist. Z.B. ist das der komplexe Logarithmus oder Produkte aus komplexen Zahlen und e-Termen. Was auch immer Sie begegnen: versuchen Sie alles in kartesische Form umzuwandeln oder noch besser: alles in Polarform.


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Wurzel von komplexen Zahlen ziehen - A.54.06

Um Wurzeln aus komplexen Zahlen zu ziehen, sollten diese Polarform haben. (Ggf. muss man die Zahl also erst in Polarform umwandeln). Will man nun die n-te Wurzel aus einer Zahl ziehen, so ist der neue Betrag die n-te Wurzel aus dem alten Betrag. Das neue Argument (=Winkel) erhält man, in dem man das alte Argument durch n teilt. Leider ist das nur EINE Lösung und beim Wurzelziehen gibt es immer mehrere Lösungen. Es gibt genau "n" Lösungen. Alle weiteren Lösungen erhält man, in dem man den Vollkreis (also 360° oder 2Pi) durch n teilt. Das Ergebnis zählt man beliebig oft zum Winkel der ersten Lösung dazu, bis man "n" Lösungen hat.


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Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 4 | A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum “Addieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum “Multiplizieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


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Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 2 | A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum “Addieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum “Multiplizieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


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Komplexe Zahlen; Kartesische Koordinaten; Polarform; Exponentialdarstellung | A.54.01

Das “Konjugierte” eine komplexen Zahl erhält man, wenn man das Vorzeichen vom Imaginärteil ändert. Zeichnerisch erhält man die konjugierte Zahl, indem man die Ausgangszahl in die komplexe Zahlenebene einzeichnet und dann an der waagerechten Achse spiegelt. Es gibt drei wichtige Formen, in welcher man eine komplexe Zahl darstellen kann. 1) z=a+bi ist die “Normalform”, oder “kartesische Darstellung” oder “kartesische Koordinaten” oder … 2) Schreibt man die komplexe Zahl in die Form z=r*e^(i*x) um, nennt man das “Polarform” oder “Polarkoordinate” oder “Exponentialdarstellung” oder … Hierbei ist “r” der “Betrag” der Zahl (ist Abstand der Zahl zum Ursprung, kann daher als Radius interpretiert werden) und “x” ist der Winkel der vom Ursprung aus zwischen der Zahl (einem Punkt in der Zahlenebene) und der x-Achse erscheint. Dieser Winkel Wird als “Argument” bezeichnet und eigentlich mit dem griechischen Buchstaben “phi” bezeichnet (nicht mit x). 3) die dritte Form ist die “trigonometrische Form”, welche eine Mischung aus Polarform und kartesischer Form.


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