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Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 4 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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Komplexe Zahlen: kurze Einführung | A.54

Eine imaginäre Zahl erhält man, wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht (oder sich vorstellt, dass das ginge). Die Wurzel aus “-1” wird mit “i” bezeichnet (manche verwenden auch “j” statt “i”). Zählt man zu imaginären Zahlen noch reelle Zahlen dazu, erhält man komplexe Zahlen. Beispielsweise ist “z=3+5i” eine komplexe Zahl. Die “3” ist der Realteil davon und wird mit re(z) abgekürzt => re(z)=3. Die “5”, die vor dem “i” steht, ist der Imaginärteil von z und wird mit im(z) abgekürzt == im(z)=5. Einzeichnen von komplexen Zahlen: natürlich reicht ein Zahlenstrahl nicht, man braucht zwei Achsen. Diese nennt man dann “komplexe Zahlenebene” oder “Gaußsche Zahlenebene”.


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Injektiv, surjektiv, bijektiv: wie oft wird der y-Wert einer Funktion angenommen, Beispiel 5

Bei Injektivität, Surjektivität und Bijektivität interessiert man sich dafür, wie oft die y-Werte einer Funktion (oder Abbildung) angenommen werden. Wird jeder y-Wert der Funktion höchstens einmal angenommen (also einmal oder keinmal) nennt man die Funktion injektiv (auch linkseindeutig oder linkstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion mindestens einmal angenommen (also einmal oder öfter) nennt man die Funktion surjektiv (auch rechtseindeutig oder rechtstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion genau einmal angenommen nennt man die Funktion bijektiv (auch eineindeutig).


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Komplexe Zahlen potenzieren, Beispiel 4 | A.54.05

Will man komplexe Zahlen quadrieren, so ist es völlig egal, welche Form die Zahl hat. (In kartesischer Form wendet man binomische Formel an, in Polarform: siehe nächsten Sätze). Zahlen in Polarform sind super-einfach zu potenzieren. Man wendet einfach eine Potenzregel an und ist fertig. Grafisch geht Potenzieren so: Annahme die neue Hochzahl ist “n”. Der Betrag der neuen Zahl ist der alte Betrag hoch “n”. Das neuer Argument (=Winkel) erhält man, indem man das alte Argument mit “n” multipliziert.


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Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 3 | A.55.02

Wenn man z.B. monatlich einen bestimmten Betrag bei der Bank einzahlt und das Ganze verzinst wird, nennt man das Ratensparen oder Rentenrechnung oder Ratenzahlung. Das Endkapital “K” nach n Zeiteinheiten berechnet man mit der Formel: K=R*(q^n-1)/(q-1). “R” ist die regelmäßige Rate die einbezahlt wird, “q” ist der Wachstumsfaktor für den gilt: q=1+p/100. (Zumindest gilt die Formel bei nachschüssiger Verzinsung.) Bei vorschüssiger Verzinsung, wenn also die Rate am Anfang und die Verzinsung am Ende der Periode erfolgt, steht hinter dem Bruch noch ein “q”.


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Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 2 | A.55.01

Die Zinseszinsrechnung kennt man bereits von der Prozentrechnung aus der Mittelstufe (siehe auch Kap.A.08). Man wendet sie an, wenn anfangs ein Kapital vorhanden ist und dieses nun über mehrere Jahre/Monate/Tage/... verzinst wird. (Zwischendrin wird also nichts mehr ein- oder ausbezahlt). Die Formel lautet: K(n)=K(0)*q^n. Hierbei ist K(n) das Endkapital, K(0) das Anfangskapital, n die Anzahl der Zeiteinheiten (meist Monate oder Jahre) und q ist der sogenannte Wachstumsfaktor, für den gilt: q=1+p/100.


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Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig | A.55.01

Die Zinseszinsrechnung kennt man bereits von der Prozentrechnung aus der Mittelstufe (siehe auch Kap.A.08). Man wendet sie an, wenn anfangs ein Kapital vorhanden ist und dieses nun über mehrere Jahre/Monate/Tage/... verzinst wird. (Zwischendrin wird also nichts mehr ein- oder ausbezahlt). Die Formel lautet: K(n)=K(0)*q^n. Hierbei ist K(n) das Endkapital, K(0) das Anfangskapital, n die Anzahl der Zeiteinheiten (meist Monate oder Jahre) und q ist der sogenannte Wachstumsfaktor, für den gilt: q=1+p/100.


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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig, Beispiel 2 | A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man “Barwert” nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann “Endwert” nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft “Zinsfuß” genannt, das gesamte Verfahren; heißt “Methode des internen Zinsfuß” oder “Methode des internen Zinssatzes” oder einfach kurz “IZF” (englisch: “IRR” = “Internal Rate of Return”).


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Komplexer Logarithmus und sonstige Probleme zu komplexen Zahlen, Beispiel 4 | A.54.07

In Verbindung mit komplexen Zahlen tauchen öfter Aufgaben und Problemchen auf, für die keine besondere Theorie notwendig ist. Z.B. ist das der komplexe Logarithmus oder Produkte aus komplexen Zahlen und e-Termen. Was auch immer Sie begegnen: versuchen Sie alles in kartesische Form umzuwandeln oder noch besser: alles in Polarform.


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Komplexe Zahlen potenzieren, Beispiel 2 - A.54.05

Will man komplexe Zahlen quadrieren, so ist es völlig egal, welche Form die Zahl hat. (In kartesischer Form wendet man binomische Formel an, in Polarform: siehe nächsten Sätze). Zahlen in Polarform sind super-einfach zu potenzieren. Man wendet einfach eine Potenzregel an und ist fertig. Grafisch geht Potenzieren so: Annahme die neue Hochzahl ist "n". Der Betrag der neuen Zahl ist der alte Betrag hoch "n". Das neuer Argument (=Winkel) erhält man, indem man das alte Argument mit "n" multipliziert.


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