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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 3 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung, Beispiel 3 | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 5 | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung berechnen | A.30.06

Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


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