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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mehrdimensionale Funktion: Extrempunkte berechnen, Beispiel 3 | A.51.02

Extrempunkte einer mehrdimensionalen Funktion berechnet man (wie bei einfachen Funktionen auch), indem man die erste Ableitung Null setzt. Bei mehrdimensionalen Funktionen gibt es nicht EINE erste Ableitung mit einer Unbekannten, sondern mehrere (partielle) erste Ableitungen mit mehreren Unbekannten, so dass man immer mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen muss. Das Überprüfen in der zweiten Ableitung (“Hesse-Matrix”) geht nach einem vorgegebenen Schema (wird im Hauptfilm erläutert).


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Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 4 | A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Gleichung dritten Grades; Nullstellen kubische Parabel berechnen, Beispiel 3 | A.05.01

Nullstellen einer kubischen Parabel (Gleichung dritten Grades) kann man eigentlich nur berechnen, in dem man “x” (oder evtl. “x²) ausklammert und den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwendet. Danach ist höchstwahrscheinlich p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel angesagt.


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Kubische Funktion, Hochpunkte und Tiefpunkte kubischer Parabeln berechnen - A.05.03

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach "x" auf, erhält man die x-Werte Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt. (Ist das Ergebnis von f''(x) negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist f''(x) positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt.) Setzt man den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) ein, erhält man den y-Wert des Extrempunkts


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Hochpunkte und Tiefpunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 2 | A.05.03

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die x-Werte Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man die x-Werte in die zweite Ableitung ein, erfährt man, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt. (Ist das Ergebnis von f''(x) negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist f''(x) positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt.) Setzt man den x-Wert in die Ausgangsfunktion f(x) ein, erhält man den y-Wert des Extrempunkts


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Wendepunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 3 | A.05.04

Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, wenn man die zweite Ableitung Null setzt und nach “x” auflöst. Den y-Wert erhält man, in dem man x in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzt. (Normalerweise muss man den x-Wert auch noch in die dritte Ableitung einsetzen, aber bei kubischen Parabeln [Gleichungen dritten Grades] muss man das streng genommen nicht. Wenn man f''(x)=0 setzt und nach x auflöst, ist das IMMER ein Wendepunkt).


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Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 3 - A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum "x" noch ein "t" oder "k" oder …), so spricht man von einer "Parabelschar" (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man "Scharparabel" (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach "x" auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach "t" auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man "Diskriminante"). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Gleichung dritten Grades; Nullstellen kubische Parabel berechnen, Beispiel 2 - A.05.01

Nullstellen einer kubischen Parabel (Gleichung dritten Grades) kann man eigentlich nur berechnen, in dem man "x" (oder evtl. "x²) ausklammert und den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwendet. Danach ist höchstwahrscheinlich p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel angesagt.


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Kubische Funktion, kubische Parabel ableiten, Beispiel 3 - A.05.02

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach "x" auf, erhält man die Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man irgendeinen x-Wert in die Ableitung ein, so erhält man die Tangentensteigung. Wie leitet man überhaupt ab? Die Hochzahl von "x" kommt vor, die neue Hochzahl wird eins kleiner. Z.B. wird aus 4x³ beim Ableiten: 4*3x²=12x².


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Kubische Funktion, Wendepunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 2 - A.05.04

Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, wenn man die zweite Ableitung Null setzt und nach "x" auflöst. Den y-Wert erhält man, in dem man x in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzt. (Normalerweise muss man den x-Wert auch noch in die dritte Ableitung einsetzen, aber bei kubischen Parabeln [Gleichungen dritten Grades] muss man das streng genommen nicht. Wenn man f''(x)=0 setzt und nach x auflöst, ist das IMMER ein Wendepunkt).


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