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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 6 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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Volumen Kegel und Volumen Zylinder berechnen, Beispiel 3 | A.21.05

Einen Kegel erhält man, wenn ein Dreieck um eine Seite rotiert, einen Zylinder erhält man, wenn ein Rechteck um eine der Seiten rotiert. Ein Kegelvolumen berechnet man über: V=pi/3*r²*h, ein Zylindervolumen berechnet man über V=pi*r²*h. Man braucht also in beiden Fällen den Radius und die Höhe. Beides sind im Normalfall waagerechte oder senkrechte Strecken, welche man also über die Differenz der x-Werte bzw. der y-Werte berechnet. Alles wird in die Volumenformel eingesetzt und das Maximum/Minimum berechnet. Schwuppdiwupp ist der größte Kegel (bzw. der größte Zylinder) da.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung, Beispiel 5 | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Quadratische Ungleichungen, Beispiel 6 | A.26.02

Eine quadratische Ungleichung ist natürlich eine Ungleichung, in welcher “x²” vorkommt. Es gibt zwei gute Vorgehensweisen dafür. Entweder über die quadratische Ergänzung oder man bestimmt die Nullstellen der quadratischen Parabel, überlegt, wie die Parabel liegt und weiß damit, in welchem Bereich die Parabel positiv oder negativ ist.


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Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung, Beispiel 1 | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Keplersche Fassregel Flächeninhalt bestimmen, Beispiel 3 | A.32.04

Es gibt Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Eines dieser Näherungsverfahren ist die Keplersche Fassregel. Der Vorteil an der Keplerschen Fassregel ist der, dass sie recht einfach ist und recht akzeptable, also recht genaue Ergebnisse liefert. Der große Nachteil ist: man weiß nicht wie genau das erhaltene Ergebnis ist. Man weiß nicht, ob die errechnete Näherung recht gut ist oder ob sie ziemlich schlecht ist. Es gibt andere Verfahren, die bessere Ergebnisse für eine Flächenannäherung liefert, diese sind meist jedoch etwas komplizierter.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen verschieben: so wird’s gemacht, Beispiel 3 | A.23.01

Wie kann man Funktion verschieben? Bei einer Verschiebung um “a” nach links, ersetzt man in der Funktion jeden Buchstaben “x” durch “x+a”. Ebenso erreicht man ein Verschieben von Funktionen nach rechts, indem man “x” durch “x-a” ersetzt. Verschiebungen von Funktionen in die y-Richtung sind einfacher. Man verschiebt eine Funktion um einen Wert “b” nach oben oder unten, indem man an die Funktion f(x) diese Zahl dranhängt. Verschieben um “b” nach oben ist somit: “f(x)+b”, Verschieben nach unten ist: “f(x)-b”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung, Beispiel 3 | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


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