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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Kurvendiskussion Beispiel 2h: Steigung der Wendetangenten berechnen | A.19.02

In dieser Funktionsuntersuchung passiert erst mal nichts Außergewöhnliches, außer dem Auftauchen dreifachen Nullstelle (= Sattelpunkt). Als “Bonbon” bestimmen wir die Wendetangente und ergötzen uns an einer einfachen Flächenberechnung.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Kurvendiskussion Beispiel 3e: Wendepunkte berechnen | A.19.03

Wir führen eine Funktionsanalyse einer Funktion durch, die nicht symmetrisch ist. Besonderheit ist ein Berührpunkt mit der x-Achse (also eine doppelte Nullstelle). Desweiteren bestimmen wir die Wendenormale und die Funktion, die durch Spiegelung an der x-Achse entsteht. Zum Schluss bestimmen wir noch die Flächen zwischen: gespiegelte Funktion und f(x).


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Kurvendiskussion Beispiel 4a: Ableitungen bestimmen | A.19.04

Ach, wie schön ist eine Funktionsanalyse mit einer Kurvenschar. Hier erfüllen wir uns diesen Wunsch. Wir führen eine Kurvendiskussion mit einer (relativ) einfachen Funktionsschar, also einer Funktion, die einen Parameter enthält.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: LFF Linearfaktorform einer Parabel aus Normalform bestimmen, Beispiel 1 | A.04.06

Aus der Linearfaktorform (LFF) der Parabel kann man die Nullstellen der Parabel recht einfach ablesen. Die LFF lautet: y=a*(x-x1)*(x-x2), wobei x1 und x2 die Nullstellen der Parabel sind. Hat man also die Normalform der Parabel gegeben und sucht die LFF, berechnet man erst die Nullstellen der Parabel (meist mit der Mitternachtsformel, also p-q-Formel oder a-b-c-Formel), setzt diese für x1 und x2 in die Formel ein (a ist die Zahl, die vor dem x² stand).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel verschieben | A.04.08

Eine Parabel verschiebt man am einfachsten, indem man zuerst den Scheitelpunkt der Parabel berechnet (z.B. über quadratische Ergänzung), diesen Scheitelpunkt dann verschiebt und mit dem verschobenen Scheitelform dann wieder die Scheitelform der Parabel aufstellt (und die dann in Normalform umwandelt, falls des gewünscht ist).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel strecken | A.04.09

Strecken und Stauchen sind in Mathe mehr oder weniger das Gleiche. Staucht man eine Parabel (quetscht sie also zusammen) entspricht das einem Strecken mit einem Streckfaktor von weniger als 1. Man kann Parabel auf unterschiedliche Weisen strecken. Am wichtigsten ist die Streckung in y-Richtung. Hier muss man unterscheiden, ob man die Parabel von der x-Achse aus oder vom Scheitelpunkt aus streckt. Streckt man die Parabel an der x-Achse, ist das sehr einfach. Man multipliziert die ganze Parabel einfach mit dem Streckfaktor (egal in welcher Form die Parabel gegeben ist). Streckt man die Parabel vom Scheitelpunkt aus, muss man die Parabel in Scheitelform bringen [y=a*(x-xs)²+ys] und multipliziert nun nur “a” mit dem Streckfaktor. Anschließend kann man die Scheitelform wieder in Normalform umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen | A.04.12

Sucht man den Schnittpunkt von zwei Parabeln, muss man beide gleichsetzen. Fällt “x²” weg, kann man einfach nach dem verbliebenen “x” auflösen. Bleibt “x²” übrig, bringt man alles auf eine Seite und kann mit der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) x berechnen. Man erhält keine/eine/zwei Lösungen für x. Setzt man x in eine der Parabeln ein, hat man auch die y-Werte und damit die kompletten Schnittpunkte (bzw. den einen Berührpunkt).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und Scheitelpunkt, Beispiel 4 | A.04.14

Hat man von einer Normalparabel nur den Scheitelpunkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein und ist fertig (“a” ist ja 1 oder -1, je nachdem ob die Parabel noch oben oder unten geöffnet ist). Eventuell kann man die Scheitelform noch in die Normalform umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Scheitelpunkt und Punkt | A.04.16

Hat man von einer beliebigen Parabel den Scheitelpunkt und irgend einen anderen Punkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein. Danach setzt man den anderen Punkt und kann “a” berechnen. Im Detail: die Scheitelform lautet y=a(x-xs)²+ys. Die Koordinaten des Scheitelpunkts setzt man für “xs” und “ys” ein, die Koordinaten des anderen Punkts setzt man für “x” und “y” ein. Nun erhält man also “a”. Danach “a”, “xs” und “ys” wieder in die Scheitelform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Scheitelform noch in die Normalform der Parabel umwandeln.


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit drei Punkten, Beispiel 1 | A.04.17

Hat man von einer beliebigen Parabel drei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so beginnt man mit dem Ansatz y=ax²+bx+c und setzt man die Koordinaten aller drei Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. (Oft erhält man aus einer Gleichung schon direkt “c”). Die erhaltenen Gleichungen muss man nun irgendwie so miteinander verrechnen, dass man “a”, “b” und “c” erhält. (Zur Frage WIE das geht, siehe evtl. Kap G.02 und Unterkapitel).


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