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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 2 - A.53.02

Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: "dy/dx", multipliziert die gesamte Gleichung mit "dx" und versucht nun auch im Folgenden, alle "x" auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle "y" auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante "+c" nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein "x"-Wert und ein zugehöriger "y"-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante "c" bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich "Trennung der Variablen" oder "Variablentrennung".


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von abschnittsweise definierten Funktionen | A.25.02

Eine Funktion ist “abschnittsweise definiert”, wenn bis zu einem x-Wert eine ganz bestimmte Funktion gilt, ab diesem x-Wert dann eine andere Funktion gilt. Abschnittsweise definierte Funktionen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von abschnittsweise definierten Funktionen, Beispiel 5 | A.25.02

Eine Funktion ist “abschnittsweise definiert”, wenn bis zu einem x-Wert eine ganz bestimmte Funktion gilt, ab diesem x-Wert dann eine andere Funktion gilt. Abschnittsweise definierte Funktionen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Aussagen zur Stammfunktion treffen anhand des Schaubildes der Ableitung, Beispiel 6 | A.27.04

Gegeben ist das Schaubild einer Ableitungsfunktion. Man muss nun bestimmte Aussagen über die Stammfunktion treffen. Manchmal sind auch ein paar Aussagen gegeben und man muss entscheiden, ob die wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Man kann die Stammfunktion SKIZZIEREN (also die Ableitung grafisch aufleiten) oder man denkt ein bisschen um die Ecke.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 1 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.

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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Aussagen zur Stammfunktion treffen anhand des Schaubildes der Ableitung, Beispiel 1 | A.27.04

Gegeben ist das Schaubild einer Ableitungsfunktion. Man muss nun bestimmte Aussagen über die Stammfunktion treffen. Manchmal sind auch ein paar Aussagen gegeben und man muss entscheiden, ob die wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Man kann die Stammfunktion SKIZZIEREN (also die Ableitung grafisch aufleiten) oder man denkt ein bisschen um die Ecke.

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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 4 | A.53.04

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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