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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Punkt an Punkt spiegeln; Spiegelpunkt; Symmetriepunkt | A.01.05

Einen Punkt spiegelt man an einem zweiten, indem man sich beide ins Koordinatensystem zeichnet und dann einfach “per Hingucken” löst. Selbstverständlich gibt es auch eine Formel für die Punkt-Spiegelung, die man anwenden kann (falls man möchte). Falls P(a|b) der Punkt ist, den man spiegeln möchte und S(u|v) der Punkt an welchem gespiegelt werden soll (sozusagen der Mittelpunkt oder Symmetriepunkt), so berechnet man die Koordinaten vom Spiegelpunkt (dem “Ergebnispunkt”) T(x|y) folgendermaßen: x=2*u-a und y=2*v-b


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Punkt an Punkt spiegeln; Spiegelpunkt; Symmetriepunkt, Beispiel 2 | A.01.05

Einen Punkt spiegelt man an einem zweiten, indem man sich beide ins Koordinatensystem zeichnet und dann einfach “per Hingucken” löst. Selbstverständlich gibt es auch eine Formel für die Punkt-Spiegelung, die man anwenden kann (falls man möchte). Falls P(a|b) der Punkt ist, den man spiegeln möchte und S(u|v) der Punkt an welchem gespiegelt werden soll (sozusagen der Mittelpunkt oder Symmetriepunkt), so berechnet man die Koordinaten vom Spiegelpunkt (dem “Ergebnispunkt”) T(x|y) folgendermaßen: x=2*u-a und y=2*v-b


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Punkt an Punkt spiegeln; Spiegelpunkt; Symmetriepunkt, Beispiel 4 | A.01.05

Einen Punkt spiegelt man an einem zweiten, indem man sich beide ins Koordinatensystem zeichnet und dann einfach “per Hingucken” löst. Selbstverständlich gibt es auch eine Formel für die Punkt-Spiegelung, die man anwenden kann (falls man möchte). Falls P(a|b) der Punkt ist, den man spiegeln möchte und S(u|v) der Punkt an welchem gespiegelt werden soll (sozusagen der Mittelpunkt oder Symmetriepunkt), so berechnet man die Koordinaten vom Spiegelpunkt (dem “Ergebnispunkt”) T(x|y) folgendermaßen: x=2*u-a und y=2*v-b


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Punkt an Punkt spiegeln; Spiegelpunkt; Symmetriepunkt, Beispiel 1 | A.01.05

Einen Punkt spiegelt man an einem zweiten, indem man sich beide ins Koordinatensystem zeichnet und dann einfach “per Hingucken” löst. Selbstverständlich gibt es auch eine Formel für die Punkt-Spiegelung, die man anwenden kann (falls man möchte). Falls P(a|b) der Punkt ist, den man spiegeln möchte und S(u|v) der Punkt an welchem gespiegelt werden soll (sozusagen der Mittelpunkt oder Symmetriepunkt), so berechnet man die Koordinaten vom Spiegelpunkt (dem “Ergebnispunkt”) T(x|y) folgendermaßen: x=2*u-a und y=2*v-b


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Punkt an Punkt spiegeln; Spiegelpunkt; Symmetriepunkt, Beispiel 3 - A.01.05

Einen Punkt spiegelt man an einem zweiten, indem man sich beide ins Koordinatensystem zeichnet und dann einfach "per Hingucken" löst. Selbstverständlich gibt es auch eine Formel für die Punkt-Spiegelung, die man anwenden kann (falls man möchte). Falls P(a - b) der Punkt ist, den man spiegeln möchte und S(u - v) der Punkt an welchem gespiegelt werden soll (sozusagen der Mittelpunkt oder Symmetriepunkt), so berechnet man die Koordinaten vom Spiegelpunkt (dem "Ergebnispunkt") T(x - y) folgendermaßen: x=2*u-a und y=2*v-b


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Symmetrie von ganzrationalen Funktionen bestimmen | A.17.01

Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) erkennt man sehr einfach an den Hochzahlen: Gibt es nur gerade Hochzahlen, so ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Gibt es nur ungerade Hochzahlen, so ist f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung. Gibt es gemischte Hochzahlen, so ist f(x) weder zum Ursprung, noch zur y-Achse symmetrisch.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Symmetrie zum Ursprung bzw. Symmetrie zur y-Achse bestimmen, Beispiel 3 | A.17.02

Die einfachste Symmetrie (und die am häufigsten gefragte) ist Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse. Für Symmetrie zum Ursprung gilt: f(-x)=-f(x). Für Symmetrie zur y-Achse gilt: f(-x)=f(x). Hat man keinen Verdacht, welche Symmetrie die Funktion haben könnte, setzt man in f(x) statt jedem “x” ein “(-x)” ein und lässt sich überraschen, was raus kommt.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Symmetrie einer Funktion mit Formel berechnen, Beispiel 4 | A.17.03

Ist eine Funktion punktsymmetrisch zu irgendeinem Symmetriepunkt S(a|b), so gilt die Formel: f(a-x)+f(a+x)=2b. Ist eine Funktion achsensymmetrisch zu irgendeiner senkrechten Symmetrieachse x=a, so gilt die Formel: f(a-x)=f(a+x).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Punkt an Gerade spiegeln; Symmetrieachse | A.01.06

Wir spiegeln hier nur an senkrechten oder waagerechten Achsen, da Spiegeln an schräg liegenden Geraden wesentlich komplizierter ist. Am einfachsten spiegelt man, indem man alles einzeichnet und sich dann überlegt, wo der gespiegelte Punkt nun “Hin wandert”. Falls Sie Formeln haben wollen: Spiegelt man einen Punkt P(a|b) an einer senkrechten Gerade mit der Gleichung x=u, so hat der Spiegelpunkt (=Ergebnispunkt) die Koordinaten: P'(2*u-a|b). Spiegelt man einen Punkt P(a|b) an einer waagerechten Gerade mit der Gleichung y=v, so hat der Spiegelpunkt (=Ergebnispunkt) die Koordinaten: P'(a|2*v-b). Spiegelt man an schräg liegenden Geraden (das sind dann Symmetrieachsen), so macht man das am besten nur grafisch mit dem Geo-Dreieck.


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Symmetrie von Funktionen und wie man damit rechnet | A.17

Funktionen können zwei Typen von Symmetrie aufweisen: Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie zu einer senkrechten Achse. (Eine Funktion kann zu waagerechten Geraden nicht symmetrisch sein!)


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