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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig, Beispiel 2 | A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man “Barwert” nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann “Endwert” nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft “Zinsfuß” genannt, das gesamte Verfahren; heißt “Methode des internen Zinsfuß” oder “Methode des internen Zinssatzes” oder einfach kurz “IZF” (englisch: “IRR” = “Internal Rate of Return”).


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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig | A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man “Barwert” nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann “Endwert” nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft “Zinsfuß” genannt, das gesamte Verfahren; heißt “Methode des internen Zinsfuß” oder “Methode des internen Zinssatzes” oder einfach kurz “IZF” (englisch: “IRR” = “Internal Rate of Return”).


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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig, Beispiel 3 - A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man "Barwert" nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann "Endwert" nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft "Zinsfuß" genannt, das gesamte Verfahren; heißt "Methode des internen Zinsfuß" oder "Methode des internen Zinssatzes" oder einfach kurz "IZF" (englisch: "IRR" = "Internal Rate of Return").


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Interner Zinsfuß: so berechnet man ihn richtig, Beispiel 1 - A.55.04

Wenn ein Unternehmen einen Kredit für eine Investition aufnimmt, zahlt sich diese erst später aus. Um beides nun vergleichen zu können, muss man die verlorenen (oder gewonnen) Zinsen berücksichtigen, die zwischen den Zeitpunkten liegen. Man kann alle auftretenden Beträge auf den ersten Zeitpunkt runterrechnen (zinstechnisch), was man "Barwert" nennt oder man kann alle Beträge auf den letzten Zeitpunkt hochrechnen, was man dann "Endwert" nennt. Im Normalfall rechnet man alles auf den Anfangszeitpunkt zurück. Der Zinssatz, um den es geht, wird oft "Zinsfuß" genannt, das gesamte Verfahren; heißt "Methode des internen Zinsfuß" oder "Methode des internen Zinssatzes" oder einfach kurz "IZF" (englisch: "IRR" = "Internal Rate of Return").


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Komplexe Zahlen dividieren und Kehrwert bilden, Beispiel 2 - A.54.04

Das Teilen von komplexen Zahlen hängt von der Form ab. Sind die Zahlen in Polarkoordinaten gegeben, ist das Ganze sehr einfach [siehe Bsp.1 und Bsp.2]. Sind die Zahlen als kartesische Koordinaten gegeben, erweitert man IMMER mit dem komplex-Konjugierten des Nenners. Dabei ist es völlig egal, ob im Zähler eine "1" steht oder eine andere komplexe Zahl. (Ob es also im eine Kehrwertberechnung geht oder um eine Division).


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Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 2 - A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 6 - A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum "Addieren" sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum "Multiplizieren" sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


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Komplexe Zahlen; Kartesische Koordinaten; Polarform; Exponentialdarstellung, Beispiel 2 - A.54.01

Das "Konjugierte" eine komplexen Zahl erhält man, wenn man das Vorzeichen vom Imaginärteil ändert. Zeichnerisch erhält man die konjugierte Zahl, indem man die Ausgangszahl in die komplexe Zahlenebene einzeichnet und dann an der waagerechten Achse spiegelt. Es gibt drei wichtige Formen, in welcher man eine komplexe Zahl darstellen kann. 1) z=a+bi ist die "Normalform", oder "kartesische Darstellung" oder "kartesische Koordinaten" oder … 2) Schreibt man die komplexe Zahl in die Form z=r*e^(i*x) um, nennt man das "Polarform" oder "Polarkoordinate" oder "Exponentialdarstellung" oder … Hierbei ist "r" der "Betrag" der Zahl (ist Abstand der Zahl zum Ursprung, kann daher als Radius interpretiert werden) und "x" ist der Winkel der vom Ursprung aus zwischen der Zahl (einem Punkt in der Zahlenebene) und der x-Achse erscheint. Dieser Winkel Wird als "Argument" bezeichnet und eigentlich mit dem griechischen Buchstaben "phi" bezeichnet (nicht mit x). 3) die dritte Form ist die "trigonometrische Form", welche eine Mischung aus Polarform und kartesischer Form.


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Inhomogene Differentialgleichung über partikuläre Lösung lösen, Beispiel 4 | A.53.05

Bei einer inhomogenen DGL höherer Ordnung macht man zwei Schritte (beide sind lang). Im ersten Schritt löst man die zugehörige homogene DGL. Die zugehörige Lösung ist der erste Teil der Gesamtlösung. Im zweiten Schritt versucht man die “spezielle Lösung” oder “partikuläre Lösung” zu finden. Diese ist meistens vom gleichen Typ, wie die Störfunktion. (Die Störfunktion ist der Term ohne “f”, welcher die DGL inhomogen macht). Viel Glück!


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Inhomogene Differentialgleichung über partikuläre Lösung lösen, Beispiel 2 | A.53.05

Bei einer inhomogenen DGL höherer Ordnung macht man zwei Schritte (beide sind lang). Im ersten Schritt löst man die zugehörige homogene DGL. Die zugehörige Lösung ist der erste Teil der Gesamtlösung. Im zweiten Schritt versucht man die “spezielle Lösung” oder “partikuläre Lösung” zu finden. Diese ist meistens vom gleichen Typ, wie die Störfunktion. (Die Störfunktion ist der Term ohne “f”, welcher die DGL inhomogen macht). Viel Glück!


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