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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen | A.52.01

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 5

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Komplexe Zahlen dividieren und Kehrwert bilden, Beispiel 4 | A.54.04

Das Teilen von komplexen Zahlen hängt von der Form ab. Sind die Zahlen in Polarkoordinaten gegeben, ist das Ganze sehr einfach [siehe Bsp.1 und Bsp.2]. Sind die Zahlen als kartesische Koordinaten gegeben, erweitert man IMMER mit dem komplex-Konjugierten des Nenners. Dabei ist es völlig egal, ob im Zähler eine “1” steht oder eine andere komplexe Zahl. (Ob es also im eine Kehrwertberechnung geht oder um eine Division).


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Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 6 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mehrdimensionale Funktion: Extrempunkte berechnen, Beispiel 4 | A.51.02

Extrempunkte einer mehrdimensionalen Funktion berechnet man (wie bei einfachen Funktionen auch), indem man die erste Ableitung Null setzt. Bei mehrdimensionalen Funktionen gibt es nicht EINE erste Ableitung mit einer Unbekannten, sondern mehrere (partielle) erste Ableitungen mit mehreren Unbekannten, so dass man immer mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen muss. Das Überprüfen in der zweiten Ableitung (“Hesse-Matrix”) geht nach einem vorgegebenen Schema (wird im Hauptfilm erläutert).


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Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 4 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 8 | A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum “Addieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum “Multiplizieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


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Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 1 - A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum "Addieren" sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum "Multiplizieren" sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


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Komplexe Zahlen: kurze Einführung | A.54

Eine imaginäre Zahl erhält man, wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl zieht (oder sich vorstellt, dass das ginge). Die Wurzel aus “-1” wird mit “i” bezeichnet (manche verwenden auch “j” statt “i”). Zählt man zu imaginären Zahlen noch reelle Zahlen dazu, erhält man komplexe Zahlen. Beispielsweise ist “z=3+5i” eine komplexe Zahl. Die “3” ist der Realteil davon und wird mit re(z) abgekürzt => re(z)=3. Die “5”, die vor dem “i” steht, ist der Imaginärteil von z und wird mit im(z) abgekürzt == im(z)=5. Einzeichnen von komplexen Zahlen: natürlich reicht ein Zahlenstrahl nicht, man braucht zwei Achsen. Diese nennt man dann “komplexe Zahlenebene” oder “Gaußsche Zahlenebene”.


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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 4 | A.53.04

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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