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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Ableitung der Umkehrfunktion | A.28.04

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert von der Ableitung der normalen Funktion. So weit die Theorie. In der Praxis muss man dann noch aufpassen, dass man bei der Funktion auch tatsächlich die normalen x-Werte nimmt, bei der Umkehrfunktion muss man natürlich die x-Werte der Umkehrfunktion nehmen (also die y-Werte der normalen Funktion), … Eigentlich nicht schwer, manchmal kommt man jedoch durcheinander.


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Ableitung der Umkehrfunktion, Beispiel 2 | A.28.04

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert von der Ableitung der normalen Funktion. So weit die Theorie. In der Praxis muss man dann noch aufpassen, dass man bei der Funktion auch tatsächlich die normalen x-Werte nimmt, bei der Umkehrfunktion muss man natürlich die x-Werte der Umkehrfunktion nehmen (also die y-Werte der normalen Funktion), … Eigentlich nicht schwer, manchmal kommt man jedoch durcheinander.


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Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Gerade, y-Achsenabschnitt und wie man mit Geraden rechnet | A.02

Jeder weiß was Geraden sind (hoffentlich). Jede Gerade hat die Form: y=Zahl*x+Zahl, also y=m*x+b oder y=m*x+c oder y=a*x+b oder... Die Zahl vor dem “x” (die meistens “m” heißt) ist hierbei die Steigung, die Zahl hinter dem “+” (die meist “b” oder “c” heißt) ist der y-Achsenabschnitt (der Schnittpunkt mit der y-Achse)


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Geraden einzeichnen, Beispiel 6 - A.02.01

Das Einzeichnen einer Gerade ist sehr einfach. Man muss nur wissen, welche Zahl der Gerade welche Bedeutung hat. Nehmen wir an, die Gerade hat die Form: y=m*x+b. Man beginnt mit "b", das ist der y-Achsen Abschnitt (der Schnittpunkt mit der y-Achse). "m" ist die Steigung. Man beginnt also beim Schnittpunkt mit der y-Achse (den man eben eingezeichnet hat), geht immer eins nach rechts und dann so viel hoch, wie der Wert der Steigung ist. (bei negativer Steigung geht man dementsprechend runter). Beides verbinden und die Gerade zeichnen.


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Geraden auslesen; Geradengleichung, Beispiel 3 - A.02.02

Die Gleichung einer gezeichneten Gerade auszulesen ist sehr einfach. Man muss nur wissen, welche Zahl der Gerade welche Bedeutung hat. Eine Geradengleichung hat die Form: y=m*x+b. Man muss erst den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse ablesen, das ist "b" (der y-Achsenabschnitt). Danach liest man die Steigung der Gerade ab indem man an irgendeinem beliebigen Punkt der gezeichneten Gerade beginnt, von hier aus 1 nach rechts geht und dann zählt wie viel man hoch oder runter geht um wieder auf die Gerade zu treffen. Der Wert den man hoch/runter gehen musste ist "m" (die Steigung).


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Geraden auslesen; Geradengleichung, Beispiel 5 - A.02.02

Die Gleichung einer gezeichneten Gerade auszulesen ist sehr einfach. Man muss nur wissen, welche Zahl der Gerade welche Bedeutung hat. Eine Geradengleichung hat die Form: y=m*x+b. Man muss erst den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse ablesen, das ist "b" (der y-Achsenabschnitt). Danach liest man die Steigung der Gerade ab indem man an irgendeinem beliebigen Punkt der gezeichneten Gerade beginnt, von hier aus 1 nach rechts geht und dann zählt wie viel man hoch oder runter geht um wieder auf die Gerade zu treffen. Der Wert den man hoch/runter gehen musste ist "m" (die Steigung).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parallelität von Geraden, Beispiel 1 | A.02.06

Sind zwei Geraden parallel, so haben sie die gleiche Steigung. Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so ist die Steigung der einen der negative Kehrwert der anderen Steigung. (Also wenn die eine Steigung 5 ist, so ist die andere Steigung -1/5). Man nennt die Steigungen dann auch “negativ reziprok”.


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Parallelität von Geraden, Beispiel 3 | A.02.06

Sind zwei Geraden parallel, so haben sie die gleiche Steigung. Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so ist die Steigung der einen der negative Kehrwert der anderen Steigung. (Also wenn die eine Steigung 5 ist, so ist die andere Steigung -1/5). Man nennt die Steigungen dann auch “negativ reziprok”.


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