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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen / Bruchfunktion integrieren bzw. aufleiten | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 1 | A.43.06

Jede Funktion kann eine (oder mehrere) waagerechte Asymptote, senkrechte Asymptote und schiefe Asymptote haben. Am einfachsten berechnet man senkrechte Asymptoten (auch Polstellen oder Definitionslücken oder Lücken oder Polgerade genannt) in dem man den Nenner Null setzt. Waagerechte Asymptoten erhält man, in dem man x gegen Unendlich laufen lässt. Im Detail bedeutet, dass man die größten Hochzahlen von Zähler und Nenner vergleicht und dabei vier Fälle unterscheidet. Schiefe Asymptoten betrachten wir im nächsten Unterkapitel.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen, Beispiel 3 | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Ableitung von komplizierten Logarithmusfunktionen, Beispiel 2 | A.44.03

Für besonders hässliche Ableitung braucht man normalerweise noch die Kettenregel, die Produktregel und eventuell noch die Quotientenregel. Schlimmer geht’s immer.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktion / Bruchfunktionen: kurze Einführung | A.43

Bruchfunktionen sind natürlich Funktionen in Bruchform. Tatsächlich heißen sie “gebrochen-rationale Funktionen” oder “gebrochene Funktionen”. Das typische Merkmal dieser Funktionen sind senkrechte Asymptoten (Polstellen), die das Schaubild in zwei oder mehrere Teile aufteilt.


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Brüche kürzen: so kürzt man einen Bruch, Beispiel 2 | B.02.01

Um einen Bruch zu kürzen, muss man Zähler und Nenner (oben und unten) durch die gleiche Zahl teilen. Mit dieser Rechenregel kann man Brüche also vereinfachen, (man hat oben und unten kleinere Zahlen), der Bruch wird dadurch handlicher.


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Basisrechnen: Kopfrechnen: einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln und umgekehrt | B.08.09

Bei einer Bruchrechnung muss man oft den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln oder eine Dezimalzahl in einen Bruch. Einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln ist schnell erklärt: man teilt den Zähler (=Oberes) durch den Nenner (=Unteres). Fertig. Will man eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, gibt es mehrere Fälle: Fall a) Die Nachkommastellen brechen irgendwann mal ab: In diesem Fall lässt man das Komma einfach weg, die Zahl (ohne Komma) steht oben im Zähler, im Nenner steht eine “1”, die so viel Nullen hinten dran hat, wie es Nachkommastellen gab. Fall b) Hinter dem Komma steht eine Periode (das sind ein oder mehrere Zahlen, die sich wiederholen) und vielleicht noch Zahlen zwischen dem Komma und der Periode (was man “Vorperiode” nennt): Man macht zuerst einen Mischbruch. Die Zahl vor dem Komma sind die Ganzen (vor dem Bruch). Die Vorperiode wandelt man wie in Fall a) in einen Bruch um, die Periode schreibt man (in einem neuen Bruch) in den Zähler, in dem zugehörigen Nenner stehen so viele Neuner, die die Periode Stellen hat und dahinter so viel Nullen wie die Vorperiode Stellen hat.


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Brüche dividieren bzw. Brüche teilen: so geht Division von Brüchen richtig, Beispiel 4 | B.02.05

Will man zwei Brüche dividieren, braucht man den Kehrbruch (Dividieren heißt “Geteilt rechnen”). Die Situation ist also Folgende: Sie haben einen Bruch und möchten diesen Bruch durch einen zweiten Bruch teilen. Dann lassen Sie den ersten Bruch einfach stehen und multiplizieren mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs (das heißt, dass Sie Zähler und Nenner vom zweiten Bruch miteinander vertauschen). Jetzt multipliziert man einfach die beiden Brüche. Wenn Sie einen Doppelbruch haben, ist das nicht Anderes als eine Division von zwei Brüchen. Sie schauen also zuerst nach dem Hauptbruchstrich (also welches ist der längste Bruchstrich). Alles was oben steht, bleibt unverändert stehen und wird mit dem Kehrwert vom unteren Bruch multipliziert


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Brüche multiplizieren: so geht die Multiplikation von Brüchen richtig, Beispiel 5 | B.02.04

Will man Zwei oder mehrere Brüche multiplizieren, ist das Einfachste der Welt (Multiplizieren heißt “Mal rechnen”). Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Man braucht also keinen Hauptnenner oder sonst irgendwas. Man macht sich das Leben jedoch einfacher, wenn man VORHER kürzt (sofern das natürlich geht). Gekürzt wird natürlich immer ein Zähler und ein Nenner, entweder Zähler und Nenner vom gleichen Bruch oder Zähler vom einen und Nenner vom anderen Bruch.


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