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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 1 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 2 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 3 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 5 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 6 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen berechnen | A.22

Die gegenseitige Lage von zwei Funktionen lässt sich auf zwei wichtige Sonderfälle zurückführen: 1.beide Funktionen berühren sich, 2.beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (sich orthogonal schneiden). Ist beides nicht der Fall, so gibt es irgendeinen Schnittwinkel. (Es kann natürlich auch sein, dass sich beide Funktionen GAR nicht schneiden, das ist aber mathematisch gesehen, nicht unbedingt der interessanteste Fall.)


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden, Beispiel 4 | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schnittwinkel zwischen Funktionen, die sich berühren bzw. schneiden | A.22.01

Bei der gegenseitigen Lage von zwei Funktionen (gilt natürlich auch für Lage von Funktion und Gerade) sind zwei Fälle besonders interessant und tauchen häufig auf. In beiden Fällen kann man zwei Gleichungen aufstellen (so dass in der Aufgabe zwei Unbekannte auftauchen können). Erstens: beide Funktionen berühren sich. In diesem Fall sind y-Werte und Steigungen gleich. (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)). Zweitens: beide Funktionen stehen senkrecht aufeinander (stehen also orthogonal aufeinander bzw. bilden einen 90°-Winkel). In diesem Fall sind beide y-Werte gleich und beide Steigungen sind negativ reziprok zueinander (=negativer Kehrwert). (Es gilt also: f(x)=g(x) und f'(x)*g'(x)=-1).


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Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 1 - A.54.06

Um Wurzeln aus komplexen Zahlen zu ziehen, sollten diese Polarform haben. (Ggf. muss man die Zahl also erst in Polarform umwandeln). Will man nun die n-te Wurzel aus einer Zahl ziehen, so ist der neue Betrag die n-te Wurzel aus dem alten Betrag. Das neue Argument (=Winkel) erhält man, in dem man das alte Argument durch n teilt. Leider ist das nur EINE Lösung und beim Wurzelziehen gibt es immer mehrere Lösungen. Es gibt genau "n" Lösungen. Alle weiteren Lösungen erhält man, in dem man den Vollkreis (also 360° oder 2Pi) durch n teilt. Das Ergebnis zählt man beliebig oft zum Winkel der ersten Lösung dazu, bis man "n" Lösungen hat.


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Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 3 - A.54.06

Um Wurzeln aus komplexen Zahlen zu ziehen, sollten diese Polarform haben. (Ggf. muss man die Zahl also erst in Polarform umwandeln). Will man nun die n-te Wurzel aus einer Zahl ziehen, so ist der neue Betrag die n-te Wurzel aus dem alten Betrag. Das neue Argument (=Winkel) erhält man, in dem man das alte Argument durch n teilt. Leider ist das nur EINE Lösung und beim Wurzelziehen gibt es immer mehrere Lösungen. Es gibt genau "n" Lösungen. Alle weiteren Lösungen erhält man, in dem man den Vollkreis (also 360° oder 2Pi) durch n teilt. Das Ergebnis zählt man beliebig oft zum Winkel der ersten Lösung dazu, bis man "n" Lösungen hat.