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Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 3 - A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum "x" noch ein "t" oder "k" oder …), so spricht man von einer "Parabelschar" (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man "Scharparabel" (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach "x" auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach "t" auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man "Diskriminante"). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Gleichung dritten Grades; Nullstellen kubische Parabel berechnen, Beispiel 2 - A.05.01

Nullstellen einer kubischen Parabel (Gleichung dritten Grades) kann man eigentlich nur berechnen, in dem man "x" (oder evtl. "x²) ausklammert und den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwendet. Danach ist höchstwahrscheinlich p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel angesagt.


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Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 2 - A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum "x" noch ein "t" oder "k" oder …), so spricht man von einer "Parabelschar" (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man "Scharparabel" (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach "x" auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach "t" auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man "Diskriminante"). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Parabel | A.05

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Gleichung dritten Grades; Nullstellen kubische Parabel berechnen, Beispiel 1 A.05.01

Nullstellen einer kubischen Parabel (Gleichung dritten Grades) kann man eigentlich nur berechnen, in dem man “x” (oder evtl. “x²) ausklammert und den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwendet. Danach ist höchstwahrscheinlich p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel angesagt.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, kubische Parabel ableiten, Beispiel 2 | A.05.02

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man irgendeinen x-Wert in die Ableitung ein, so erhält man die Tangentensteigung. Wie leitet man überhaupt ab? Die Hochzahl von “x” kommt vor, die neue Hochzahl wird eins kleiner. Z.B. wird aus 4x³ beim Ableiten: 4*3x²=12x².


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Wendepunkte kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 1 | A.05.04

Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, wenn man die zweite Ableitung Null setzt und nach “x” auflöst. Den y-Wert erhält man, in dem man x in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzt. (Normalerweise muss man den x-Wert auch noch in die dritte Ableitung einsetzen, aber bei kubischen Parabeln [Gleichungen dritten Grades] muss man das streng genommen nicht. Wenn man f''(x)=0 setzt und nach x auflöst, ist das IMMER ein Wendepunkt).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, Tangenten kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 2 | A.05.05

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. Die Steigung der Tangente erhält man, in dem man den x-Wert des Berührpunktes in die Ableitung der Funktion einsetzt. Den y-Wert des Berührpunktes erhält man, in dem man x in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzt. Setzt man x, y und m in die Geradengleichung y=m*x+b ein, erhält man b und damit die Geradengleichung.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 4 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 6 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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