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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 5 | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung berechnen | A.30.06

Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


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Beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung berechnen, Beispiel 5 | A.30.06

Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


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Logistisches Wachstum mit Differentialgleichung berechnen, Beispiel 2 | A.30.08

Die Differenzialgleichung vom logistischen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t)*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum aktuellen Bestand und zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 1 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Quadratische Ungleichungen, Beispiel 3 | A.26.02

Eine quadratische Ungleichung ist natürlich eine Ungleichung, in welcher “x²” vorkommt. Es gibt zwei gute Vorgehensweisen dafür. Entweder über die quadratische Ergänzung oder man bestimmt die Nullstellen der quadratischen Parabel, überlegt, wie die Parabel liegt und weiß damit, in welchem Bereich die Parabel positiv oder negativ ist.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Volumen Kegel und Volumen Zylinder berechnen | A.21.05

Einen Kegel erhält man, wenn ein Dreieck um eine Seite rotiert, einen Zylinder erhält man, wenn ein Rechteck um eine der Seiten rotiert. Ein Kegelvolumen berechnet man über: V=pi/3*r²*h, ein Zylindervolumen berechnet man über V=pi*r²*h. Man braucht also in beiden Fällen den Radius und die Höhe. Beides sind im Normalfall waagerechte oder senkrechte Strecken, welche man also über die Differenz der x-Werte bzw. der y-Werte berechnet. Alles wird in die Volumenformel eingesetzt und das Maximum/Minimum berechnet. Schwuppdiwupp ist der größte Kegel (bzw. der größte Zylinder) da.