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Exponentielles Wachstum berechnen, Beispiel 1 | A.30.03

Exponentielles Wachstum ist ein Wachstum, in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (Zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Typisch für exponentielles Wachstum ist die Verdopplungszeit (bei exponentieller Zunahme) bzw. die Halbwertszeit (bei exponentielles Abnahme). Egal wann man mit der Messung beginnt, es dauert bei jedem Vorgang immer gleich lang, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert) hat. Exponentielles Wachstum wird durch die Funktionsgleichung f(t)=a*e^(kt) beschrieben.


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Exponentielles Wachstum berechnen, Beispiel 6 | A.30.03

Exponentielles Wachstum ist ein Wachstum, in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (Zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Typisch für exponentielles Wachstum ist die Verdopplungszeit (bei exponentieller Zunahme) bzw. die Halbwertszeit (bei exponentielles Abnahme). Egal wann man mit der Messung beginnt, es dauert bei jedem Vorgang immer gleich lang, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert) hat. Exponentielles Wachstum wird durch die Funktionsgleichung f(t)=a*e^(kt) beschrieben.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung, Beispiel 6 | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


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Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 3 | A.07.03

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Die Berechnung von begrenztem Wachstum erfolgt über eine Tabelle und Schritt für Schritt, d.h. aus einem Bestand berechnen wir den Bestand vom nächsten Tag/Jahr/Minute/..., daraus dann den übernächsten Bestand usw. Wir verwenden hierbei die Formel dB(t)=k*(G-B(t)), wobei B(t) der aktuelle Bestand ist, G die Grenze, k irgendein Wachstumsfaktor, dB(t) die Zunahme im aktuellen Zeitintervall. (In der Oberstufe/Studium erfolgt dann eine geschicktere Berechnung über e-Funktionen [Kap.A.30.05]) .


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Exponentialfunktion: Ableitung, Beispiel 1 | A.41.03

Die Ableitung eines e-Terms berechnet man relativ einfach. Der e-Term bleibt komplett unverändert erhalten, zusätzlich multipliziert man ihn noch mit der Ableitung der Hochzahl. Da die Ableitung der Hochzahl eine Art “innere Ableitung” ist, wendet man im Prinzip die Kettenregel an. Als Formel könnte man anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == f'(x)=a*e^(bx+c)*b.


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Exponentialfunktion: Ableitung, Beispiel 6 | A.41.03

Die Ableitung eines e-Terms berechnet man relativ einfach. Der e-Term bleibt komplett unverändert erhalten, zusätzlich multipliziert man ihn noch mit der Ableitung der Hochzahl. Da die Ableitung der Hochzahl eine Art “innere Ableitung” ist, wendet man im Prinzip die Kettenregel an. Als Formel könnte man anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == f'(x)=a*e^(bx+c)*b.


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Komplizierte Exponentialfunktionen ableiten, Beispiel 1 | A.41.04

Bei hässlicheren Exponentialfunktionen kann man bei der Ableitung eigentlich nur noch zusätzlich die Produktregel oder Kettenregel auftauchen (ggf. noch Quotientenregel). Viel mehr Möglichkeiten gibt es nicht, was jedoch nicht heißt, dass alles immer nur einfach ist. Denken Sie bitte an die innere Ableitung, denn diese werden Sie mindestens ein bis zwei Mal pro Ableitung anwenden müssen.


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Komplizierte Exponentialfunktionen ableiten, Beispiel 1 | A.41.04

Bei hässlicheren Exponentialfunktionen kann man bei der Ableitung eigentlich nur noch zusätzlich die Produktregel oder Kettenregel auftauchen (ggf. noch Quotientenregel). Viel mehr Möglichkeiten gibt es nicht, was jedoch nicht heißt, dass alles immer nur einfach ist. Denken Sie bitte an die innere Ableitung, denn diese werden Sie mindestens ein bis zwei Mal pro Ableitung anwenden müssen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Exponentialfunktionen, Beispiel 2 | A.41.06

Braucht man die Stammfunktion von besonders hässliche Exponentialgleichungen, kann man eigentlich nur die Produktintegration (=partielle Integration) anwenden oder die Integration durch Substitution. Vielleicht kann man auch den ein- oder anderen Trick anwenden.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Waagrechte Asymptote und schiefe Asymptote berechnen, Beispiel 6 | A.16.02

Waagerechte Asymptoten bzw. schiefe Asymptoten erhält man, in dem man “x” in der Funktion gegen + oder - unendlich streben lässt. Wie das im Detail geht, hängt vom Funktionstyp ab. (Siehe daher bitte auf Querverweise auf die verschiedenen Funktionen unter “verwandte Themen”).