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Hypergeometrische Verteilung

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. Hier erfahren Lehrer und Schüler, was eine hypergeometrische Verteilung ist.

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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Binomialverteilung Bernoulli-Formel mit Binomialkoeffizient, Beispiel 2 | W.16.01

Die Formel für die Binomialverteilung heißt auch “Bernoulli-Formel” und setzt sich aus drei Teilen zusammen. Zum einen der Binomialkoeffizient (der die Vertauschungsmöglichkeiten angibt), die W.S. der ersten Möglichkeit hoch der Anzahl davon, sowie die W.S. der zweiten Möglichkeit hoch der Anzahl davon. Als Formel: Sei n die Gesamtanzahl aller Züge, k sei die Anzahl der gewünschten Treffer, p die Wahrscheinlichkeit, dass EIN Treffer eintritt.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Hypergeometrische Verteilung: Ziehen aus Gruppen, Beispiel Schulklasse | W.17.01

Uns interessiert hier das Ziehen aus Gruppen. Gegeben ist eine Menge von Personen, die wir in drei Gruppen unterteilen. Hier: die Gruppe der Mädels, der Jungs und der Ungeschlechtlichen. Wir kennen die Größe jeder einzelne Gruppe und wir wissen wie viel verschiedene Personen wir aus dieser Gruppe auswählen möchten. Da kein Schüler zweimal ausgesucht werden kann, haben wir “Ziehen ohne Zurücklegen”. Alle Voraussetzungen für die hypergeometrische Verteilung sind erfüllt. In der Formel steht unten (im Nenner) ein Binomialkoeffizient, der die GESAMTanzahl aller Schüler enthält und die GESAMTanzahl jener Schüler, die ausgesucht werden. Oben (im Zähler) steht für jede Gruppe ein Binomialkoeffizient mit jeweils der Anzahl der Gruppenmitglieder und der Anzahl jener, die hiervon ausgesucht werden.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Hypergeometrische Verteilung: Beispiel Lotto-Problem | W.17.02

Eine Standardanwendung der hypergeometrischen Verteilung: das Lotto-Problem. Beim normalen Lotto hat man insgesamt 49 Kugeln, 6 davon werden von der Lottogesellschaft als “Richtige” ausgesucht werden. Für die Rechnung unterteilt man die 49 Zahlen daher in die Gruppe der 6 Richtigen und 43 Falschen. Wenn nun die W.S. von einer bestimmten Zahl von Richtigen gefragt ist, kann man nun diese Anzahl aus der Gruppe der Richtigen ziehen und den Rest aus der Gruppe der Falschen. Selbstverständlich kann man mit den erhaltenen Wahrscheinlichkeiten noch weiter rechnen. Es könnten Fragen zum Erwartungswert, bedingter W.S., oder sonst allem Möglichen auftauchen. (In dieser Aufgabe brauchen wir nur den Erwartungswert).


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Hypergeometrische Verteilung: Ziehen ohne Zurücklegen, Beispiel Schachbrett, Teil 1 | W.17.03

Vordergründig geht es um ein Schachbrett auf welches Münzen gelegt werden. Eigentlich interessiert uns nur die Tatsache, dass es zwei Typen von Felder gibt (16 weiße und 16 schwarze). Da auf ein Feld nur eine Münze gelegt wird, handelt es sich um “Ziehen ohne Zurücklegen”, also um die sogenannte “Hypergeometrische Verteilung”. Wir wenden ein paar Mal die Formel an, in welcher sowohl im Nenner als auch im Zähler die Binomialkoeffizienten stehen und variieren die minimal, je nach Fragestellung.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Binomialkoeffizient: was das ist und wie man damit rechnet, Beispiel 2 | W.12.02

Eine der wirklich wichtigen Vertauschungsmöglichkeiten ist der Binomialkoeffizient (bzw. auch Binominalkoeffizient). Es wird angewendet, falls es nur zwei Auswahlmöglichkeiten gibt (z.B. nur rote Kugeln oder nichtrote Kugeln) und falls die Frage so ähnlich formuliert werden kann, wie: “Wieviel Möglichkeiten gibt es, diese beiden Kugelsorten hintereinander anzuordnen”.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Multinomialkoeffizient: was ist das und wie rechnet man damit | W.12.03

Der Multinomialkoeffizient wird eigentlich sehr selten verwendet, kann aber recht hilfreich sein. So wie man den Binomialkoeffizienten bei ZWEI Auswahlmöglichkeiten anwendet, kommt der Multinomialkoeffizient bei mehreren Auswahlmöglichkeiten zum Zug. Wenn man wissen will, wieviel Möglichkeiten es gibt, mehrere Sorten miteinander zu vertauschen, kommt der Multinomialkoeffizient zum Zug.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Multinomialkoeffizient: was ist das und wie rechnet man damit, Beispiel 1 | W.12.03

Der Multinomialkoeffizient wird eigentlich sehr selten verwendet, kann aber recht hilfreich sein. So wie man den Binomialkoeffizienten bei ZWEI Auswahlmöglichkeiten anwendet, kommt der Multinomialkoeffizient bei mehreren Auswahlmöglichkeiten zum Zug. Wenn man wissen will, wieviel Möglichkeiten es gibt, mehrere Sorten miteinander zu vertauschen, kommt der Multinomialkoeffizient zum Zug.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Binomialverteilung Bernoulli-Formel mit Binomialkoeffizient, Beispiel 3 | W.16.01

Die Formel für die Binomialverteilung heißt auch “Bernoulli-Formel” und setzt sich aus drei Teilen zusammen. Zum einen der Binomialkoeffizient (der die Vertauschungsmöglichkeiten angibt), die W.S. der ersten Möglichkeit hoch der Anzahl davon, sowie die W.S. der zweiten Möglichkeit hoch der Anzahl davon. Als Formel: Sei n die Gesamtanzahl aller Züge, k sei die Anzahl der gewünschten Treffer, p die Wahrscheinlichkeit, dass EIN Treffer eintritt.


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Hypergeometrische Verteilung: Ziehen aus Gruppen, Beispiel Schulklasse, Teil 1 | W.17.01

Uns interessiert hier das Ziehen aus Gruppen. Gegeben ist eine Menge von Personen, die wir in drei Gruppen unterteilen. Hier: die Gruppe der Mädels, der Jungs und der Ungeschlechtlichen. Wir kennen die Größe jeder einzelne Gruppe und wir wissen wie viel verschiedene Personen wir aus dieser Gruppe auswählen möchten. Da kein Schüler zweimal ausgesucht werden kann, haben wir “Ziehen ohne Zurücklegen”. Alle Voraussetzungen für die hypergeometrische Verteilung sind erfüllt. In der Formel steht unten (im Nenner) ein Binomialkoeffizient, der die GESAMTanzahl aller Schüler enthält und die GESAMTanzahl jener Schüler, die ausgesucht werden. Oben (im Zähler) steht für jede Gruppe ein Binomialkoeffizient mit jeweils der Anzahl der Gruppenmitglieder und der Anzahl jener, die hiervon ausgesucht werden.


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