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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 1 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Intervallschachtelung Nullstellen bestimmen, Beispiel 1 | A.32.03

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Intervallhalbierungsverfahren (auch Bisektionsverfahren) bietet die Möglichkeit Nullstellen der Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Im Prinzip ist die Methode der Intervallhalbierung eine einfache Intervallschachtelung. Blöd gesagt rät man so lange irgendwelche zwei x-Werte, bis man zwei gefunden hat, deren y-Wert unterschiedliche Vorzeichen haben. Hat man nämlich zwei Punkte mit unterschiedlichen Vorzeichen in den y-Werten, so MUSS dazwischen eine Nullstelle sein. Nun sucht man zwischen diesen Punkten irgendeinen x-Wert, berechnet den y-Wert und betrachtet den y-Wert. Je nach Vorzeichen hat man nun wieder ein kleineres Intervall, in welchem die Nullstelle liegen muss. Das Ganze wiederholt man so lange, bis das Intervall sehr, sehr klein ist oder bis man keine Lust mehr hat. Eine von mehreren Abwandlung der Intervallhalbierung ist die Regula Falsi. Ich finde die Zeitersparnis davon jedoch nicht nennenswert, daher führe ich sie an dieser Stelle nicht vor.


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Rotationsvolumen einer Funktion über Umkehrfunktion berechnen; Rotation um y-Achse | A.28.05

Benötigt man das Rotationsvolumen einer Funktion um die y-Achse, so lässt man die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren. Im Detail: Man benötigt das Volumen, das durch die Rotation um die y-Achse von einer Fläche entsteht. Zuerst bestimmt man die Umkehrfunktion von f(x) und lässt diese Umkehrfunktion nun “ganz normal” um die x-Achse rotieren. Die Grenzen sind hierbei die y-Werte!! Das erhaltene Volumen ist das gesuchte.


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Regression mit GTR / CAS berechnen, Beispiel 2 | A.29.01

Folgende Problematik: Man hat beliebig viele Punkte und möchte diejenige Punktion, die am besten reinpasst, also möglichst nahe an allen Punkten vorbeiläuft. GTR oder CAS können solche Funktionen angeben, man nennt das Ganze “Regression” oder “Funktion anpassen/optimieren”... Man muss eigentlich nur die Tastenkombinationen kennen, zu denken gibt’s nicht viel. (Falls Sie weiter recherchieren möchten, probieren Sie die Suchbegriffe “Regression” oder “minimale Summe der quadratischen Entfernung”).


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Rechnen können mit GTR / CAS - Abituraufgabe 1c | A.29.2

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Man muss den ein- oder anderen Schnittpunkt berechnen, man braucht Flächenberechnung, Rotation einer Fläche um die x-Achse und natürlich will niemand auf eine Extremwertaufgabe verzichten. Der Sinn ist alles möglichst schnell zu rechnen, also (fast) nur mit GTR/CAS, (fast) nichts von Hand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 3 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung, Beispiel 3 | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 1 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 3 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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