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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 3

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 3 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 5 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 4 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgaben, schwierige Übungen, Beispiel 6 | A.21.09

Leider gehören viele der Extremwertaufgaben nicht zu den letztgenannten Standardfällen. Viele der Extremwertaufgaben sind immer wieder neue, hässliche Typen. Hier ein Versuch ein paar davon vorzurechnen. In den Beispielen geht es um die Fläche von einem beliebigen Dreieck, Fläche vom Trapez und zwei senkrechten Geraden die aus einer Fläche einen Streifen ausschneiden.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Aussagen zur Stammfunktion treffen anhand des Schaubildes der Ableitung, Beispiel 3 | A.27.04

Gegeben ist das Schaubild einer Ableitungsfunktion. Man muss nun bestimmte Aussagen über die Stammfunktion treffen. Manchmal sind auch ein paar Aussagen gegeben und man muss entscheiden, ob die wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Man kann die Stammfunktion SKIZZIEREN (also die Ableitung grafisch aufleiten) oder man denkt ein bisschen um die Ecke.


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Achsenabschnitt und Achsenschnittpunkte (Nullstellen) berechnen, Beispiel 1 | A.04.10

Eine der sehr wichtigen Berechnungen bei Parabeln sind die Achsenschnittpunkte. Der Schnittpunkt mit der y-Achse heiß auch y-Achsenabschnitt. Man erhält diesen, in dem man x=0 in die Parabel einsetzt. Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen auch Nullstellen. Man erhält diese, in dem man die Parabelgleichung Null setzt und dann (meist die Mitternachtsformel anwendet, sprich p-q-Formel oder a-b-c-Formel). Je nach dem, was unter der Wurzel rauskommt, hat man keine/eine oder zwei Nullstellen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: kurze Einführung in die e-Funktion | A.41

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in welcher die Unbekannte “x” in der Hochzahl steht. Die mit Abstand wichtigste Exponentialfunktion ist die e-Funktion, welche die Eulersche Zahl (also e=2,718...) als Basis hat.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion: Übungen und Beispiele, Beispiel 3 | A.45.09

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von Wurzel-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Definitionsmenge, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer ganzrationalen Funktion erstellen, Beispiel 1 | A.46.06

Wenn man eine Parabel zeichnen soll, kann man: 1).Eine ausführliche Wertetabelle machen. 2).Kennt man genau so viele Nullstellen der Funktion wie ihr Grad, kann man die Funktion meist recht einfach zeichnen. 3).Eine Funktionsanalyse (=Kurvendiskussion) machen. Fall 1) will normalerweise kein Korrektor/Prüfer bei Ihnen sehen. Fall 3) ist umständlich und kommt daher nur als Notlösung in Frage. Sie werden hauptsächlich Fall 2) begegnen. Auch wir werden uns in diesem Unterkapitel dem Fall 2) widmen.


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