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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktion verschieben, Funktion strecken, Funktion spiegeln | A.23

Man kann Funktionen strecken (mit einem bestimmten Streckfaktor), Funktionen spiegeln und Funktionen verschieben. Es gibt für jedes je eine mathematische Vorgehensweise, welche sich zu merken lohnt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Keplersche Fassregel Flächeninhalt bestimmen | A.32.04

Es gibt Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Eines dieser Näherungsverfahren ist die Keplersche Fassregel. Der Vorteil an der Keplerschen Fassregel ist der, dass sie recht einfach ist und recht akzeptable, also recht genaue Ergebnisse liefert. Der große Nachteil ist: man weiß nicht wie genau das erhaltene Ergebnis ist. Man weiß nicht, ob die errechnete Näherung recht gut ist oder ob sie ziemlich schlecht ist. Es gibt andere Verfahren, die bessere Ergebnisse für eine Flächenannäherung liefert, diese sind meist jedoch etwas komplizierter.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Keplersche Fassregel Flächeninhalt bestimmen, Beispiel 2 | A.32.04

Es gibt Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Eines dieser Näherungsverfahren ist die Keplersche Fassregel. Der Vorteil an der Keplerschen Fassregel ist der, dass sie recht einfach ist und recht akzeptable, also recht genaue Ergebnisse liefert. Der große Nachteil ist: man weiß nicht wie genau das erhaltene Ergebnis ist. Man weiß nicht, ob die errechnete Näherung recht gut ist oder ob sie ziemlich schlecht ist. Es gibt andere Verfahren, die bessere Ergebnisse für eine Flächenannäherung liefert, diese sind meist jedoch etwas komplizierter.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Trapezregel Flächeninhalt bestimmen, Beispiel 3 | A.32.05

Die Sehnen-Trapez-Regel (oder Trapezregel)ist ein Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Die Sehnen-Trapezformel liefert im Normalfall bessere Ergebnisse als die Keplerschen Fassregel (siehe Kap.2.12.4), dafür ist sie jedoch nicht so schnell und supereinfach. Trotzdem ist die Sehnentrapezregel nicht schwer zu verstehen. Eigentlich setzt man nur x- und y-Werte in eine Formel ein. (Die Sehnen-Trapez-Regel funktioniert damit ähnlich wie die Simpson-Regel oder die Tangenten-Trapez-Regel und liefert auch ähnlich gute Ergebnisse. [Die letzten beiden Methoden gibt’s jedoch nicht auf der Mathe-Seite]).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: Grundbegriffe und wie man damit rechnet, Beispiel 1 | A.33.02

In den meisten Aufgaben ist die Kostenfunktion eine Gleichung dritten Grades, die Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade. Beide haben zwei Schnittpunkte im positiven Bereich. Zwischen den beiden Schnittpunkten fährt das Unternehmen Gewinn ein, außerhalb der Schnittpunkte macht es Verlust. Die beiden Schnittpunkte heißen dementsprechend Gewinnschwelle (oder Nutzenschwelle) und Gewinngrenze (oder Nutzengrenze).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 5 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung, Beispiel 5 | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 5 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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