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Analytische Geometrie (Vektoren): Winkel, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Dreiecksfläche | V.05

Hier sind nur ein paar Themen, die sonst nirgendwo sonst reinpassen. Winkel, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Dreiecksflächen und diverses Anderes.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt Beweise, Beispiel 1 | V.10.04

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt: so kann man Vektoren multiplizieren | V.05.02

Will man zwei Vektoren multiplizieren, macht man das mit dem Skalarprodukt. Dafür multipliziert man die ersten beiden ersten Einträge der Vektoren, dann die beiden zweiten Einträge, und die dritten Einträge. Die drei Ergebnisse werden ADDIERT, das Ergebnis ist eine Zahl. Ist dieses Ergebnis Null, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist die wichtigste Anwendung des Skalarprodukts.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt Beweise, Beispiel 2 | V.10.04

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt: so kann man Vektoren multiplizieren. Beispiel 3 | V.05.02

Will man zwei Vektoren multiplizieren, macht man das mit dem Skalarprodukt. Dafür multipliziert man die ersten beiden ersten Einträge der Vektoren, dann die beiden zweiten Einträge, und die dritten Einträge. Die drei Ergebnisse werden ADDIERT, das Ergebnis ist eine Zahl. Ist dieses Ergebnis Null, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist die wichtigste Anwendung des Skalarprodukts.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Rechter Winkel einer Geraden mit A und B, Beispiel 2 | V.08.05

Eine der Formulierungen der letzten Jahre, die zwar immer gleich lautet, jedoch etwas verunglückt ist (man könnte auch sagen: “beschissen”). Gegeben sind eine Gerade “g” und zwei Punkte “A” und “B”, gesucht ist derjenige Punkt der Gerade “von welchem aus die Strecke AB unter einem rechten Winkel erscheint”. Gemeint ist: man sucht einen Punkt G der Gerade g derart, dass zwischen den Vektoren GA und GB ein rechter Winkel befindet. Vorgehensweise: Man schreibt die Gerade in Punktform um (laufender Punkt). Nun stellt man einen Vektor von G zu A auf und einen Vektor von G zu B (beides in Abhängigkeit vom Parameter). Das Skalarprodukt der Vektoren GA und GB muss Null ergeben. So erhält man eine Gleichung, aus welcher man den Parameter und damit den Punkt G erhält.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt Beweise | V.10.04

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt: so kann man Vektoren multiplizieren. Beispiel 1 | V.05.02

Will man zwei Vektoren multiplizieren, macht man das mit dem Skalarprodukt. Dafür multipliziert man die ersten beiden ersten Einträge der Vektoren, dann die beiden zweiten Einträge, und die dritten Einträge. Die drei Ergebnisse werden ADDIERT, das Ergebnis ist eine Zahl. Ist dieses Ergebnis Null, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist die wichtigste Anwendung des Skalarprodukts.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt Beweise, Beispiel 3 | V.10.04

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Rechter Winkel einer Geraden mit A und B | V.08.05

Eine der Formulierungen der letzten Jahre, die zwar immer gleich lautet, jedoch etwas verunglückt ist (man könnte auch sagen: “beschissen”). Gegeben sind eine Gerade “g” und zwei Punkte “A” und “B”, gesucht ist derjenige Punkt der Gerade “von welchem aus die Strecke AB unter einem rechten Winkel erscheint”. Gemeint ist: man sucht einen Punkt G der Gerade g derart, dass zwischen den Vektoren GA und GB ein rechter Winkel befindet. Vorgehensweise: Man schreibt die Gerade in Punktform um (laufender Punkt). Nun stellt man einen Vektor von G zu A auf und einen Vektor von G zu B (beides in Abhängigkeit vom Parameter). Das Skalarprodukt der Vektoren GA und GB muss Null ergeben. So erhält man eine Gleichung, aus welcher man den Parameter und damit den Punkt G erhält.


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