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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 2 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Abstand zwischen Funktionen berechnen | A.21.06

Die vermutlich häufigste Variante von Extremwertaufgaben ist der Unterschied zwischen zwei Funktionen. Es geht hierbei um den senkrecht gemessenen Abstand zwischen zwei Funktionen. Man zieht dafür die beiden Funktionen von einander ab (man bestimmt also die Differenzfunktion) und bestimmt davon das Maximum oder Minimum.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Ableitung von komplizierten Logarithmusfunktionen, Beispiel 2 | A.44.03

Für besonders hässliche Ableitung braucht man normalerweise noch die Kettenregel, die Produktregel und eventuell noch die Quotientenregel. Schlimmer geht’s immer.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktion / Bruchfunktionen: kurze Einführung | A.43

Bruchfunktionen sind natürlich Funktionen in Bruchform. Tatsächlich heißen sie “gebrochen-rationale Funktionen” oder “gebrochene Funktionen”. Das typische Merkmal dieser Funktionen sind senkrechte Asymptoten (Polstellen), die das Schaubild in zwei oder mehrere Teile aufteilt.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen, Beispiel 3

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen, Beispiel 3 | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


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Brüche dividieren bzw. Brüche teilen: so geht Division von Brüchen richtig, Beispiel 4 | B.02.05

Will man zwei Brüche dividieren, braucht man den Kehrbruch (Dividieren heißt “Geteilt rechnen”). Die Situation ist also Folgende: Sie haben einen Bruch und möchten diesen Bruch durch einen zweiten Bruch teilen. Dann lassen Sie den ersten Bruch einfach stehen und multiplizieren mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs (das heißt, dass Sie Zähler und Nenner vom zweiten Bruch miteinander vertauschen). Jetzt multipliziert man einfach die beiden Brüche. Wenn Sie einen Doppelbruch haben, ist das nicht Anderes als eine Division von zwei Brüchen. Sie schauen also zuerst nach dem Hauptbruchstrich (also welches ist der längste Bruchstrich). Alles was oben steht, bleibt unverändert stehen und wird mit dem Kehrwert vom unteren Bruch multipliziert


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Brüche multiplizieren: so geht die Multiplikation von Brüchen richtig, Beispiel 5 | B.02.04

Will man Zwei oder mehrere Brüche multiplizieren, ist das Einfachste der Welt (Multiplizieren heißt “Mal rechnen”). Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Man braucht also keinen Hauptnenner oder sonst irgendwas. Man macht sich das Leben jedoch einfacher, wenn man VORHER kürzt (sofern das natürlich geht). Gekürzt wird natürlich immer ein Zähler und ein Nenner, entweder Zähler und Nenner vom gleichen Bruch oder Zähler vom einen und Nenner vom anderen Bruch.


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Binomische Formeln und Binome ausrechnen, Beispiel 4 - B.01.02

Ein Binom ist eine Klammer mit zwei Termen innen drin, z.B. "(x+2)". Für drei Sonderfälle gibt es die sogenannten binomischen Formeln. Sie lauten: 1. (a+b)²=a²+2ab+b², 2. (a-b)²=a²-2ab+b², 3. (a+b)(a-b)=a²-b². (Falls man die binomische Formeln vergisst, kann man beide Klammern auch einfach miteinander multiplizieren).


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