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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionsanpassung, Beispiel 1 | A.31.02

Oft ist eine Funktion in Anhängigkeit von Parametern gegeben. Nun hat man die ein- oder andere Bedingung gegeben mit deren Hilfe man die Parameter bestimmen kann. Das Ganze nennt man Funktionsanpassung. Vermutlich kann man es auch “s4yx/nhyc” nennen. Typisches Beispiel sind Brücken, die eine bestimmte Höhe und/oder Breite haben oder zwei Straßen die durch ein Verbindungsstück glatt verbunden werden sollen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionsanpassung, Beispiel 3 | A.31.02

Oft ist eine Funktion in Anhängigkeit von Parametern gegeben. Nun hat man die ein- oder andere Bedingung gegeben mit deren Hilfe man die Parameter bestimmen kann. Das Ganze nennt man Funktionsanpassung. Vermutlich kann man es auch “s4yx/nhyc” nennen. Typisches Beispiel sind Brücken, die eine bestimmte Höhe und/oder Breite haben oder zwei Straßen die durch ein Verbindungsstück glatt verbunden werden sollen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Näherungsverfahren und Näherungslösungen | A.32

Sie werden es vielleicht nicht glauben, aber Mathematik kann man für die Praxis anwenden. Und da reichen meist Näherungslösungen. Es gibt Näherungslösungen um Gleichungen zu lösen (Newton-Verfahren, Intervallhalbierung), es gibt Näherungsverfahren um Flächen/Integrale zu berechnen (Keplersche Fassregel, Simpson-Formel) und man kann komplizierte Funktionen durch einfache Funktionen annähern (mit der Taylorentwicklung).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 2 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von abschnittsweise definierten Funktionen, Beispiel 5 | A.25.02

Eine Funktion ist “abschnittsweise definiert”, wenn bis zu einem x-Wert eine ganz bestimmte Funktion gilt, ab diesem x-Wert dann eine andere Funktion gilt. Abschnittsweise definierte Funktionen eignen sich hervorragend für Aufgabenstellungen zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen | A.26

Eine Ungleichung hat kein Gleich-Zeichen, sondern ein Ungleichheits-Zeichen, also ein “Kleiner-Zeichen” oder ein “Größer-Zeichen” (bzw. “kleiner gleich” oder “größer gleich”). Man behandelt Ungleichungen genau wie Gleichungen, nur dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl teilt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Lineare Ungleichungen, Beispiel 4 | A.26.01

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, in der nur “x” vorkommt. Kein “x²” oder höhere Potenzen, keine Brüche, keine Wurzeln, aber natürlich “Kleinerzeichen” oder ein “Größerzeichen”. Es handelt sich um eine recht einfache Angelegenheit. Alles, was ein “x” hat, kommt auf die linke Seite, alles ohne “x” auf die rechte Seite. Teilt man durch etwas Negatives, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Quadratische Ungleichungen, Beispiel 4 | A.26.02

Eine quadratische Ungleichung ist natürlich eine Ungleichung, in welcher “x²” vorkommt. Es gibt zwei gute Vorgehensweisen dafür. Entweder über die quadratische Ergänzung oder man bestimmt die Nullstellen der quadratischen Parabel, überlegt, wie die Parabel liegt und weiß damit, in welchem Bereich die Parabel positiv oder negativ ist.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen höherer Potenz, Beispiel 2 | A.26.03

Eine “höhere Ungleichung” oder besser eine “Ungleichung höherer Potenz” ist eine Ungleichung, in welcher höhere Potenzen von “x” auftauchen. Eigentlich gibt es nur eine gute Lösungsmöglichkeit:


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen höherer Potenz, Beispiel 4 | A.26.03

Eine “höhere Ungleichung” oder besser eine “Ungleichung höherer Potenz” ist eine Ungleichung, in welcher höhere Potenzen von “x” auftauchen. Eigentlich gibt es nur eine gute Lösungsmöglichkeit: