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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 2 | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 4 | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Trigonometrische Funktionen: Erklärung der Grundfunktion f(x)=a·sin(b(x-c))+d | A.42.08

Durch Strecken und Verschieben von sin(x) und cos(x) kommt man auf die Grundfunktion der Form f(x)=a·sin(b(x-c))+d bzw. f(x)=a·cos(b(x-c))+d. Vermutlich sollten Sie wissen, welche Bedeutung die Parameter a, b, c, d haben. a = Amplitude = Streckung in y-Richtung, b=2*Pi/Periode=Stauchung in x-Richtung; c=Verschiebung in x-Richtung (bei sin: c=x-Wert des Wendepunkts mit positiver Steigung, bei cos: c=x-Wert des Hochpunkts), d=Mittellinie der Funktion=Verschiebung in y-Richtung


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Aus dem Schaubild einer trigonometrischen Funktion die Funktionsgleichung erstellen | A.42.10.

Es gibt einen Haufen periodischer Vorgänge in der Natur. Z.B. sieht man öfter die Aufgabe, dass monatliche Durchschnittstemperaturen angeben sind, diese werden als Punkte eingezeichnet und die Funktion kann eingezeichnet werden. Nun braucht man die Funktionsgleichung, die die Temperatur beschreibt. Wie geht man vor? Die waagerechte Mittellinie d liest man zuerst aus. Der Abstand hiervon zu den Hoch- bzw. Tiefpunkten ist die Amplitude a. Der Abstand zwischen zwei Tiefpunkten oder zwischen zwei Hochpunkten ist die Periode. Daraus kann man b bestimmen. Zum Schluss liest man c aus (welches der x-Wert vom Hochpunkt [bei cos] bzw. der x-Wert des Wendepunkts [bei sin] ist). Die Parameter setzt man in y=a·sin(b[x-c])+d ein.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer trigonometrischen Funktion, Beispiel 1 | A.42.11

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von trigonometrischen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Periode der Funktion und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktion / Bruchfunktionen: kurze Einführung | A.43

Bruchfunktionen sind natürlich Funktionen in Bruchform. Tatsächlich heißen sie “gebrochen-rationale Funktionen” oder “gebrochene Funktionen”. Das typische Merkmal dieser Funktionen sind senkrechte Asymptoten (Polstellen), die das Schaubild in zwei oder mehrere Teile aufteilt.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen / Bruchfunktion integrieren bzw. aufleiten | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 1 | A.43.06

Jede Funktion kann eine (oder mehrere) waagerechte Asymptote, senkrechte Asymptote und schiefe Asymptote haben. Am einfachsten berechnet man senkrechte Asymptoten (auch Polstellen oder Definitionslücken oder Lücken oder Polgerade genannt) in dem man den Nenner Null setzt. Waagerechte Asymptoten erhält man, in dem man x gegen Unendlich laufen lässt. Im Detail bedeutet, dass man die größten Hochzahlen von Zähler und Nenner vergleicht und dabei vier Fälle unterscheidet. Schiefe Asymptoten betrachten wir im nächsten Unterkapitel.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen, Beispiel 3

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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