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Partialbruchzerlegung, Beispiel 1 | A.14.07

Beim Integrieren von Brüchen stößt man manchmal auf sehr hässliche Brüche. Eine Möglichkeit ist der Weg über die Partialbruchzerlegung. (Gehört NICHT zu den ganz einfachen Themen!!). Schritt 1) Falls die Hochzahl oben größer oder kleiner als die Hochzahl unten ist, vereinfacht man das Ganze über die Polynomdivision. Schritt 2) Man bestimmt die Nullstellen des Nenners um die Partialbrüche zu erhalten [Erklärung: siehe Filme oder Buch]. Schritt 3) Man multipliziert mit dem Hauptnenner, um die Zahlen zu erhalten, die den Zähler der Partialbrüche bilden. Schritt 4) Man integriert nun die (relativ einfachen) Partialbrüche.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen | A.43.07

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision, Beispiel 3 | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Linearfaktorzerlegung | A.46.03

Linearfaktoren sind Klammern, die mit “mal” verbunden sind. In den Klammern darf “x” keine Hochzahl haben. Braucht man von einer Funktion in Linearfaktorzerlegung, hat die Funktion die Form: f(x)=a·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·.... x1, x2, x3, … sind hierbei die Nullstellen der Funktion. Fazit: Man braucht die Nullstellen einer Funktion, dann kann man die Linearfaktorzerlegung schnell aufstellen. (Den Parameter “a” erhält man zum Schluss recht einfach, in dem man einen beliebigen Punkt einsetzt).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision, Beispiel 2 | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Horner-Schema, Beispiel 3 | A.46.02

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur das Horner-Schema als Notlösung übrig (oder die Polynomdivision, welche eine andere Variante des Horner-Schemas ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend ein festgelegtes Verfahren anwenden um im Ergebnis ein einfacheres Polynom zu erhalten, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Partialbruchzerlegung | A.14.07

Beim Integrieren von Brüchen stößt man manchmal auf sehr hässliche Brüche. Eine Möglichkeit ist der Weg über die Partialbruchzerlegung. (Gehört NICHT zu den ganz einfachen Themen!!). Schritt 1) Falls die Hochzahl oben größer oder kleiner als die Hochzahl unten ist, vereinfacht man das Ganze über die Polynomdivision. Schritt 2) Man bestimmt die Nullstellen des Nenners um die Partialbrüche zu erhalten [Erklärung: siehe Filme oder Buch]. Schritt 3) Man multipliziert mit dem Hauptnenner, um die Zahlen zu erhalten, die den Zähler der Partialbrüche bilden. Schritt 4) Man integriert nun die (relativ einfachen) Partialbrüche.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen, Beispiel 3

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.