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Polynome, Parabeln höherer Ordnung, ganzrationale Funktionen, Beispiel 1 | A.06.01

“Polynome” heißen auch “ganzrationale Funktionen” oder “Parabeln höherer Ordnung”. Während man unter “Parabel” normalerweise eine quadratische Parabel versteht (y=ax²+bx+c) versteht man unter einer “Parabel dritten Grades” bzw. “Parabel dritter Ordnung” eine Funktion mit x hoch 3 (y=ax³+bx²+cx+d). Mit “Parabel vierter Ordnung” ist eine Funktion gemeint, in welcher x^4 als höchste Potenz auftaucht, usw. Anfangs, wenn diese Funktionen eingeführt werden, interessiert man sich hauptsächlich dafür, woher die Funktion kommt und wohin sie geht. Man lässt also x gegen plus und gegen minus Unendlich laufen und schaut ob die y-Werte nach plus oder minus Unendlich gehen. (Wenn man's mal kapiert hat isses ganz einfach).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Linearfaktorzerlegung | A.46.03

Linearfaktoren sind Klammern, die mit “mal” verbunden sind. In den Klammern darf “x” keine Hochzahl haben. Braucht man von einer Funktion in Linearfaktorzerlegung, hat die Funktion die Form: f(x)=a·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·.... x1, x2, x3, … sind hierbei die Nullstellen der Funktion. Fazit: Man braucht die Nullstellen einer Funktion, dann kann man die Linearfaktorzerlegung schnell aufstellen. (Den Parameter “a” erhält man zum Schluss recht einfach, in dem man einen beliebigen Punkt einsetzt).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Nullstellen aufstellen, Beispiel 2 | A.46.04

Kennt man die Nullstellen einer Funktion (z.B. x1, x2, x3, …), kann man die Linearfaktorzerlegung der Funktion aufstellen. Also f(x)=a·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·... Den Parameter “a” erhält man über die Punktprobe mit einem beliebigen Punkt. Nun hat man die Funktionsgleichung. Falls man möchte, kann man auch noch alle Klammern auflösen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Bedingungen aufstellen, Beispiel 3 | A.46.05

Um Polynome aufzustellen gibt es eigentlich nur drei Typen von Informationen: 1). Punkte. In diesem Fall setzt man x- und y-Wert in f(x) ein [=Inzidenzbedingung]. 2).Steigungen. In diesem Fall setzt man x-Wert und Steigung in f'(x) ein. 3). Hoch-, Tief- oder Wendepunkt. In diesem Fall setzt man f'(x)=0 bzw. f''(x)=0 und setzt für x den entsprechenden x-Wert ein. Hat man dies alles getan erhält man ein Gleichungssystem, welches man lösen muss. Eine Erweiterung dessen ist der Fall, dass zwei Funktionen in einander übergehen sollen. (Nennen wir die Funktionen f(x) und g(x).) Der x-Wert des Übergangs ist eigentlich immer bekannt, wir nennen ihn x=a. Eine der Funktionen ist gegeben, die andere muss aufgestellt werden (=modelliert werden). 1).Gehen die Funktionen nur in einander über, gilt f(a)=g(a) [dieser Fall tritt de facto nie auf]. 2).Gehen die Funktionen “glatt” oder “knickfrei” in einander über, so gilt: f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a). 3).Gehen die Funktionen “ruckfrei” in einander über, so gilt f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a) und f''(a)=g''(a)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Bedingungen aufstellen, Beispiel 5 | A.46.05

Um Polynome aufzustellen gibt es eigentlich nur drei Typen von Informationen: 1). Punkte. In diesem Fall setzt man x- und y-Wert in f(x) ein [=Inzidenzbedingung]. 2).Steigungen. In diesem Fall setzt man x-Wert und Steigung in f'(x) ein. 3). Hoch-, Tief- oder Wendepunkt. In diesem Fall setzt man f'(x)=0 bzw. f''(x)=0 und setzt für x den entsprechenden x-Wert ein. Hat man dies alles getan erhält man ein Gleichungssystem, welches man lösen muss. Eine Erweiterung dessen ist der Fall, dass zwei Funktionen in einander übergehen sollen. (Nennen wir die Funktionen f(x) und g(x).) Der x-Wert des Übergangs ist eigentlich immer bekannt, wir nennen ihn x=a. Eine der Funktionen ist gegeben, die andere muss aufgestellt werden (=modelliert werden). 1).Gehen die Funktionen nur in einander über, gilt f(a)=g(a) [dieser Fall tritt de facto nie auf]. 2).Gehen die Funktionen “glatt” oder “knickfrei” in einander über, so gilt: f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a). 3).Gehen die Funktionen “ruckfrei” in einander über, so gilt f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a) und f''(a)=g''(a)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision, Beispiel 3 | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Polynom bzw. ganzrationale Funktion integrieren; Polynom-Integral bilden | A.14.01

Wie lässt sich ein Polynom ableiten: Polynome (ganzrationale Funktion oder auch Parabeln höherer Ordnung) integriert man (man sagt auch aufleiten) nach einer einfachen Formel. Die Hochzahl wird um eins erhöht, die neue Hochzahl kommt runter in den Nenner(!) und wird mit den eventuell vorhandenen Vorzahlen verrechnet.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Polynom bzw. ganzrationale Funktion integrieren; Polynom-Integral bilden, Beispiel 5 | A.14.01

Wie lässt sich ein Polynom ableiten: Polynome (ganzrationale Funktion oder auch Parabeln höherer Ordnung) integriert man (man sagt auch aufleiten) nach einer einfachen Formel. Die Hochzahl wird um eins erhöht, die neue Hochzahl kommt runter in den Nenner(!) und wird mit den eventuell vorhandenen Vorzahlen verrechnet.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Symmetrie von ganzrationalen Funktionen bestimmen | A.17.01

Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) erkennt man sehr einfach an den Hochzahlen: Gibt es nur gerade Hochzahlen, so ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Gibt es nur ungerade Hochzahlen, so ist f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung. Gibt es gemischte Hochzahlen, so ist f(x) weder zum Ursprung, noch zur y-Achse symmetrisch.


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Polynom bzw. ganzrationale Funktion ableiten, Beispiel 2 | A.13.01

Will man ganzrationale Funktionen ableiten, ist das ganz einfach: Die (alte) Hochzahl kommt mit Mal verbunden vor das “x”, die neue Hochzahl ist um 1 kleiner als die alte Hochzahl. Polynome ableiten (bzw. Parabeln ableiten bzw. ganzrationale Funktionen ableiten) gehört zu den absoluten Grundlagen des Ableitens, auf dem alles andere aufbaut.


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