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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorrechnung, Vektorgeometrie, analytische Geometrie: so berechnet man Vektoren

Ein Vektor ist eine Richtung die eine bestimmte Länge hat. Vektorgeometrie (auch “Vektorrechnung” oder “analytische Geometrie” genannt) befasst sich mit linearen Berechnungen in Räumen (meist im dreidimensionalen Raum). Die Objekte, mit denen man rechnet sind Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln. Die meisten dieser Objekte werden als Vektoren angegeben (wie das geht, sehen wir dann). Die meisten Objekte untersucht man auf gemeinsame Punkte (Schnittpunkte) und berechnet Abstände. Das macht eigentlich schon 80% der Vektorgeometrie in der Schule aus.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Grundlagen Vektorgeometrie: Punkte einzeichnen und ablesen im Koordinatensystem, Beispiel 3 | V01.01

Im Allgemeinen kann man aus einem dreiachsigen Koordinatensystem keine Punkte ablesen. Es gibt ein paar Ausnahmen, die wir hier behandeln. Desweiteren werden wir auch noch Punkte, Geraden, Pyramiden Quader und Anderes einzeichnen.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Schwerpunkt Dreieck, Mittelpunkt Strecke, Verbindungsvektor berechnen, Beispiel 1 | V.01.02

Den Mittelpunkt einer Strecke bestimmt man, in dem man die Endpunkte der Strecke zusammenzählt und durch 2 teilt. Den Schwerpunkt eines Dreiecks bestimmt man, in dem man die Koordinaten der Eckpunkte zusammenzählt und durch 3 teilt. Den Verbindungsvektor von einem Punkt zu einem zweiten Punkt stellt man auf, in dem man die Koordinaten des Anfangspunkt vom Endpunkt abzieht.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Ebenenformen: HNF, Parameterform, Normalenform, Koordinatenform, Achsenabschnittsform | V.01.04

Für eine Ebene gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten, sprich Ebenenformen. 1. Parameterform (PF), 2.Koordinatenform (KF), 3.Normalenform (NF), 4.Hesse-Normal-Form (HNF), 5.Achsen-Abschnitts-Form (AAF). Die ersten beiden sind die wichtigsten. Man benötigt für verschiedene Berechnungen mal die eine, mal die andere. Es ist wichtig, zu wissen, wie man eine Ebenenform in die andere umwandelt. Eine zentrale Position dabei hat die Koordinatengleichung. Man kann alle Ebenenformen in die KF umwandeln und man kann alle Ebenenformen aus der KF erstellen.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Parameterform, Parametergleichung; Beispiel 1 | V.01.05

Um eine Ebene aufzustellen verwendet man drei Punkte. Den ersten Punkt verwendet man als Stützvektor (auch Ortsvektor oder Aufpunkt genannt). Dieser wird vorne hingeschrieben. Die beiden Richtungsvektoren (auch Spannvektoren genannt) erhält man, in dem man jeweils zwei Punkte von einander abzieht. Vor den Richtungsvektoren stehen immer Parameter (=Buchstaben).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Parameterform, Parametergleichung; Beispiel 6 | V.01.05

Um eine Ebene aufzustellen verwendet man drei Punkte. Den ersten Punkt verwendet man als Stützvektor (auch Ortsvektor oder Aufpunkt genannt). Dieser wird vorne hingeschrieben. Die beiden Richtungsvektoren (auch Spannvektoren genannt) erhält man, in dem man jeweils zwei Punkte von einander abzieht. Vor den Richtungsvektoren stehen immer Parameter (=Buchstaben).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Parameterform, Parametergleichung; Beispiel 8 | V.01.05

Um eine Ebene aufzustellen verwendet man drei Punkte. Den ersten Punkt verwendet man als Stützvektor (auch Ortsvektor oder Aufpunkt genannt). Dieser wird vorne hingeschrieben. Die beiden Richtungsvektoren (auch Spannvektoren genannt) erhält man, in dem man jeweils zwei Punkte von einander abzieht. Vor den Richtungsvektoren stehen immer Parameter (=Buchstaben).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Parameterform in Koordinatenform umwandeln, Beispiel 4 | V.01.06

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Parameterform in eine Koordinatenform umzuwandeln. Die schnellste Möglichkeit verwendet das Kreuzprodukt. Allerdings wird das Kreuzprodukt nicht in allen Schularten bzw. von allen Lehrern akzeptiert. (Bsp1 - Bsp3). Die zweite Möglichkeit eine Koordinatengleichung zu erhalten, verwendet das Skalarprodukt (Bsp4 - Bsp6). Die dritte Möglichkeit, die wir hier vorstellen geht über ein LGS (lineares Gleichungssystem). Es gibt noch weitere gute Möglichkeiten wie man eine Ebenenform in eine andere umwandeln kann, aber irgendwo müssen wir hier mal auch aufhören ;)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Koordinatenform in Parameterform umwandeln, Beispiel 1 | V.01.07

Will man eine Koordinatenform in Parameterform umwandeln, sucht man sich drei Punkte der Ebene (z.B. die Spurpunkte) und stellt aus diesen drei Punkten die Parameterform auf. (wie in Kap.V.01.05)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Normalenform Koordinatenform umwandeln | V.01.08

Eine Normalenform in eine Koordinatenform umzuwandeln und umgekehrt ist recht einfach, da in beiden Ebenenformen der Normalenvektor als Hauptelement auftaucht. Man sollte nur wissen, wie einen Koordinaten- bzw. eine Normalengleichung aussieht.


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