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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Taylorpolynom; Taylorreihe; Taylorentwicklung | A.32.01

Die Taylorentwicklung macht aus einer komplizierten und hässlichen Funktion ein “einfaches” Polynom, das Taylorpolynom, die Taylorreihe oder einfach nur Näherungspolynom. Natürlich hat das Ganze einen Haken. Um eine e-Funktion oder eine Sinus-Funktion oder etc.. in ein “einfaches” Polynom umzuwandeln, müsste dieses Polynom unendlich lang sein. Das will natürlich niemand, man verwendet von dieser Taylorreihe immer nur die ersten 2,3,4,5... Terme. Insofern hat man mit dem erhaltenen Polynom immer nur eine “Annäherung” an die ursprüngliche, hässliche Funktion, was aber meistens ausreicht. Auf diese Art kann man nach Taylor auch die Reihenentwicklung der Exponential-, der Sinus- oder Kosinusfunktion erhalten. Die Formel für die Taylorentwicklung ist zum Glück relativ einfach.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Taylorpolynom; Taylorreihe; Taylorentwicklung, Beispiel 2 | A.32.01

Die Taylorentwicklung macht aus einer komplizierten und hässlichen Funktion ein “einfaches” Polynom, das Taylorpolynom, die Taylorreihe oder einfach nur Näherungspolynom. Natürlich hat das Ganze einen Haken. Um eine e-Funktion oder eine Sinus-Funktion oder etc.. in ein “einfaches” Polynom umzuwandeln, müsste dieses Polynom unendlich lang sein. Das will natürlich niemand, man verwendet von dieser Taylorreihe immer nur die ersten 2,3,4,5... Terme. Insofern hat man mit dem erhaltenen Polynom immer nur eine “Annäherung” an die ursprüngliche, hässliche Funktion, was aber meistens ausreicht. Auf diese Art kann man nach Taylor auch die Reihenentwicklung der Exponential-, der Sinus- oder Kosinusfunktion erhalten. Die Formel für die Taylorentwicklung ist zum Glück relativ einfach.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Taylorpolynom; Taylorreihe; Taylorentwicklung, Beispiel 3 | A.32.01

Die Taylorentwicklung macht aus einer komplizierten und hässlichen Funktion ein “einfaches” Polynom, das Taylorpolynom, die Taylorreihe oder einfach nur Näherungspolynom. Natürlich hat das Ganze einen Haken. Um eine e-Funktion oder eine Sinus-Funktion oder etc.. in ein “einfaches” Polynom umzuwandeln, müsste dieses Polynom unendlich lang sein. Das will natürlich niemand, man verwendet von dieser Taylorreihe immer nur die ersten 2,3,4,5... Terme. Insofern hat man mit dem erhaltenen Polynom immer nur eine “Annäherung” an die ursprüngliche, hässliche Funktion, was aber meistens ausreicht. Auf diese Art kann man nach Taylor auch die Reihenentwicklung der Exponential-, der Sinus- oder Kosinusfunktion erhalten. Die Formel für die Taylorentwicklung ist zum Glück relativ einfach.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Näherungsverfahren und Näherungslösungen | A.32

Sie werden es vielleicht nicht glauben, aber Mathematik kann man für die Praxis anwenden. Und da reichen meist Näherungslösungen. Es gibt Näherungslösungen um Gleichungen zu lösen (Newton-Verfahren, Intervallhalbierung), es gibt Näherungsverfahren um Flächen/Integrale zu berechnen (Keplersche Fassregel, Simpson-Formel) und man kann komplizierte Funktionen durch einfache Funktionen annähern (mit der Taylorentwicklung).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Taylorpolynom; Taylorreihe; Taylorentwicklung, Beispiel 1 | A.32.01

Die Taylorentwicklung macht aus einer komplizierten und hässlichen Funktion ein “einfaches” Polynom, das Taylorpolynom, die Taylorreihe oder einfach nur Näherungspolynom. Natürlich hat das Ganze einen Haken. Um eine e-Funktion oder eine Sinus-Funktion oder etc.. in ein “einfaches” Polynom umzuwandeln, müsste dieses Polynom unendlich lang sein. Das will natürlich niemand, man verwendet von dieser Taylorreihe immer nur die ersten 2,3,4,5... Terme. Insofern hat man mit dem erhaltenen Polynom immer nur eine “Annäherung” an die ursprüngliche, hässliche Funktion, was aber meistens ausreicht. Auf diese Art kann man nach Taylor auch die Reihenentwicklung der Exponential-, der Sinus- oder Kosinusfunktion erhalten. Die Formel für die Taylorentwicklung ist zum Glück relativ einfach.


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