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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktion: Stammfunktion bestimmen | A.44.04

Die Stammfunktion vom ln ist nicht ganz einfach zu errechnen. Wahrscheinlich müssen Sie dieses aber auch nie errechnen, sondern dürfen aus der Formelsammlung verwenden, dass für die Stammfunktion des Logarithmus gilt: f(x)=ln(x) == F(x)=x*ln(x)-x.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Wurzelfunktionen | A.45.04

Bei hässlichen Stammfunktionen, die eine Wurzel enthalten, braucht man meist die Substitution oder die Produktintegration (partielle Integration). Ziemlich sicher muss man die Wurzel auch noch umschreiben und dann mittels Kettenregel integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Exponentialfunktionen, Beispiel 2 | A.41.06

Braucht man die Stammfunktion von besonders hässliche Exponentialgleichungen, kann man eigentlich nur die Produktintegration (=partielle Integration) anwenden oder die Integration durch Substitution. Vielleicht kann man auch den ein- oder anderen Trick anwenden.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 2 | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 4 | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen / Bruchfunktion integrieren bzw. aufleiten | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Polynom bzw. ganzrationale Funktion integrieren; Polynom-Integral bilden, Beispiel 3 | A.14.01

Wie lässt sich ein Polynom ableiten: Polynome (ganzrationale Funktion oder auch Parabeln höherer Ordnung) integriert man (man sagt auch aufleiten) nach einer einfachen Formel. Die Hochzahl wird um eins erhöht, die neue Hochzahl kommt runter in den Nenner(!) und wird mit den eventuell vorhandenen Vorzahlen verrechnet.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Wurzel integrieren; Brüche integrieren, Beispiel 3 | A.14.02

Viele Wurzeln und Brüche kann man so umschreiben, so dass die Ableitung wesentlich einfacher wird. Brüche: Wenn oben im Zähler kein “x” steht, sondern nur Zahlen und unten im Nenner weder “+” noch “-”, kann man “x” von unten aus dem Nenner hoch in den Zähler bringen, indem man das Vorzeichen der Hochzahl wechselt. Wurzeln: man schreibt die Wurzel um, und zwar in Klammer hoch 0,5. Dritte Wurzeln werden zu “x” hoch “ein Drittel”,...


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Lineare Substitution für die Stammfunktion von verketteten Funktionen, Beispiel 1 | A.14.03

Die lineare Substitution wendet man an, wenn man die Stammfunktion von verketteten (=verschachtelten) Funktionen braucht. Im Zentrum des Ganzen steht eine Klammer, wobei man einmal auf das Innere der Klammer schaut und einmal auf das, was außerhalb der Klammer ist. Leitet man das Innere der Klammer ab, so muss man eine Zahl erhalten (nichts mit “x”!), anderenfalls funktioniert die lineare Substitution nicht. Diese Zahl, die innere Ableitung steht in der Stammfunktion immer außerhalb der Klammer, irgendwo unten im Nenner.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Lineare Substitution für die Stammfunktion von verketteten Funktionen, Beispiel 3 | A.14.03

Die lineare Substitution wendet man an, wenn man die Stammfunktion von verketteten (=verschachtelten) Funktionen braucht. Im Zentrum des Ganzen steht eine Klammer, wobei man einmal auf das Innere der Klammer schaut und einmal auf das, was außerhalb der Klammer ist. Leitet man das Innere der Klammer ab, so muss man eine Zahl erhalten (nichts mit “x”!), anderenfalls funktioniert die lineare Substitution nicht. Diese Zahl, die innere Ableitung steht in der Stammfunktion immer außerhalb der Klammer, irgendwo unten im Nenner.


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