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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorzug, Beispiel 2 | V.10.03

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Rechnen können mit GTR / CAS - Abituraufgabe 2c | A.29.03

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Man braucht: Nullstellen, Hoch- Tiefpunkte, eine Tangente, desweiteren taucht auf: ein Parallelogramm, eine Extremwertaufgabe und ein kleiner Frosch. Der Sinn ist auch hier alles möglichst schnell zu rechnen, also (fast) nur mit GTR/CAS, (fast) nichts von Hand.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Den vierten Punkt eines Parallelogramms berechnen, Beispiel 3 | V.05.04

Eine typische Frage ist, den vierten Punkt eines Parallelogramms zu berechnen. Das ist einfach. Annahme, man muss D berechnen. Man addiert den Vektor BC zum Punkt A und erhält D. (Das Ganze klappt natürlich auch beim Rechteck, Quadrat oder bei einer Raute, weil alle diese besondere Parallelogramme sind).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms berechnen, Beispiel 1 | V.05.05

Liegt ein Punkt im Inneren eines Parallelogramms, stellt man vom Parallelogramm eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Nun macht man eine Punktprobe. Beide Parameter müssen zwischen 0 und 1 liegen. Soll der Punkt innen im Dreiecks liegen, stellt man ebenfalls eine Ebene auf und macht die Punktprobe. Diesmal muss die SUMME der Parameter zwischen 0 und 1 liegen. Anderenfalls liegt der Punkt außerhalb.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms berechnen | V.05.05

Liegt ein Punkt im Inneren eines Parallelogramms, stellt man vom Parallelogramm eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Nun macht man eine Punktprobe. Beide Parameter müssen zwischen 0 und 1 liegen. Soll der Punkt innen im Dreiecks liegen, stellt man ebenfalls eine Ebene auf und macht die Punktprobe. Diesmal muss die SUMME der Parameter zwischen 0 und 1 liegen. Anderenfalls liegt der Punkt außerhalb.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt im Inneren eines Dreiecks oder Parallelogramms berechnen, Beispiel 2 | V.05.05

Liegt ein Punkt im Inneren eines Parallelogramms, stellt man vom Parallelogramm eine Ebenengleichung in Parameterform auf. Nun macht man eine Punktprobe. Beide Parameter müssen zwischen 0 und 1 liegen. Soll der Punkt innen im Dreiecks liegen, stellt man ebenfalls eine Ebene auf und macht die Punktprobe. Diesmal muss die SUMME der Parameter zwischen 0 und 1 liegen. Anderenfalls liegt der Punkt außerhalb.


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Prof. Dr. Jürgen Roth

DynaGeo: Symmetrische Vierecke

Hier werden einige interaktive Konstruktionen angeboten, die mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware (DGS) EUKLID DynaGeo erstellt wurden. Die Materialien eignen sich für verschiedene Themengebiete und Klassenstufen.

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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Rechnen können mit GTR / CAS - Abituraufgabe 2d | A.29.03

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Man braucht: Nullstellen, Hoch- Tiefpunkte, eine Tangente, desweiteren taucht auf: ein Parallelogramm, eine Extremwertaufgabe und ein kleiner Frosch. Der Sinn ist auch hier alles möglichst schnell zu rechnen, also (fast) nur mit GTR/CAS, (fast) nichts von Hand.


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