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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab, Beispiel 2 | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 2 | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 3 | A.43.06

Jede Funktion kann eine (oder mehrere) waagerechte Asymptote, senkrechte Asymptote und schiefe Asymptote haben. Am einfachsten berechnet man senkrechte Asymptoten (auch Polstellen oder Definitionslücken oder Lücken oder Polgerade genannt) in dem man den Nenner Null setzt. Waagerechte Asymptoten erhält man, in dem man x gegen Unendlich laufen lässt. Im Detail bedeutet, dass man die größten Hochzahlen von Zähler und Nenner vergleicht und dabei vier Fälle unterscheidet. Schiefe Asymptoten betrachten wir im nächsten Unterkapitel.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen | A.43.07

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion erstellen, Beispiel 1 | A.43.08

Gebrochen-rationale Funktionen zeichnet man am besten über die Asymptoten. Man zeichnet also zuerst die Asymptoten, danach eventuell Nullstellen (falls man Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt zeichnet man diese ebenfalls ein) und versucht die Funktion zu zeichnen. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen. Das sollte für das Zeichnen ausreichen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


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BR alpha

Prüfungstraining: Dezimalbrüche und Maßeinheiten (Mediabox)

Der vierte Teil führt vor, wie man Dezimalbrüche fehlerfrei addiert oder subtrahiert, und erläutert, was bei Zahlen mit verschiedenen Maßeinheiten zu beachten ist. Die Mediabox umfasst 11 Stationen: Film: Auch Dachboxen werden getestet, Übung 1: Löse die Gleichung nach x auf, Film: Marius macht einen Fehler, Film: So subtrahierst du die Dezimalbrüche richtig, Info: Dezimalbrüche richtig subtrahieren, Film: Maßeinheiten umrechnen, Überlege: Wie viel kg sind 10g?, Film: Auch Profis machen Fehler, Film: Maßeinheiten umrechnen, Übung 2: Berechne das Ergebnis in Gramm, Übung 3: Berechne das Ergebnis in Kilogramm.

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MatheGuru

Regel von de l’Hospital

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. Hier wird die Regel von de l’Hospital erläutert.

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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen mit Brüchen, Beispiel 2 | A.26.04

Wenn Ungleichungen anfangen hässlich zu werden, ist das meist mit Brüchen verbunden. Man braucht im Normalfall eine Fallunterscheidung (oder mehrere), … Alles nicht schön. Man kann die Fallunterscheidungen umgehen, wenn man alle Zähler- und alle Nennernullstellen berechnet, diese als Intervallgrenzen verwendet und nun für jedes entstandene Intervall prüft, ob die Ungleichung stimmt. (Letzteres tut man, indem man für jedes Intervall eine Zahl aus diesem Intervall in die Ungleichung einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält.)


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Basisrechnen: Kopfrechnen: einen Bruch in einen Mischbruch umwandeln und umgekehrt, Beispiel 4 | B.08.08

Ein reiner Bruch ist ein Bruch, der nur einen Zähler und einen Nenner hat. Ein Mischbruch hat einen Zähler, einen Nenner und eine ganze Zahl davor stehen. Z.B. sind fünf Achtel ein Reinbruch, während zwei Ganze fünf Achtel ein Mischbruch ist. Um einen reinen Bruch in einen Mischbruch umzuwandeln, teilt man einfach den Zähler (=oben) durch den Nenner (=unten) und erhält sofort eine ganze Zahl und den Restbruch (das Ganze macht nur Sinn, wenn der Zähler größer als der Nenner ist). Will man für eine Bruchrechnung einen Mischbruch in einen reinen Bruch umwandeln, so macht man Folgendes: Der Nenner bleibt unverändert. Den neuen Zähler des reinen Bruch erhält man, in dem man die ganze Zahl mit dem Nenner multipliziert und den alten Zähler dazu addiert.


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