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Gleichsetzungsverfahren: so löst man Gleichungen mit zwei Unbekannten, Beispiel 1 - G.02.03

Hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so spricht man von einem "Linearen Gleichungssystem" bzw. von einem 2x2 - LGS. Die Lösung über das sogenannte "Gleichsetzungsverfahren" (oder "Gleichsetzverfahren") läuft folgender Maßen: Man sucht sich eine beliebige Variable aus. Nun löst man BEIDE Gleichungen nach dieser Variable auf und setzt die beiden "Ergebnisse" gleich. Man erhält eine Gleichung, in welcher nur noch eine Variable auftaucht, nach welcher man auflösen kann. (Löst man beide Gleichungen nach "y" auf, ist es danach die gleiche Vorgehensweise, als wenn man zwei Geraden miteinander schneidet [s. Kap.G.02.05]).


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Gleichsetzungsverfahren: so löst man Gleichungen mit zwei Unbekannten, Beispiel 2 | G.02.03

Hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so spricht man von einem “Linearen Gleichungssystem” bzw. von einem 2x2 - LGS. Die Lösung über das sogenannte “Gleichsetzungsverfahren” (oder “Gleichsetzverfahren”) läuft folgender Maßen: Man sucht sich eine beliebige Variable aus. Nun löst man BEIDE Gleichungen nach dieser Variable auf und setzt die beiden “Ergebnisse” gleich. Man erhält eine Gleichung, in welcher nur noch eine Variable auftaucht, nach welcher man auflösen kann. (Löst man beide Gleichungen nach “y” auf, ist es danach die gleiche Vorgehensweise, als wenn man zwei Geraden miteinander schneidet [s. Kap.G.02.05]).


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Gleichungen: Gleichungssysteme mit Sonderfällen: /keine Lösung/ oder /unendlich viele Lösungen/ | G.02.06

Bei einem Gleichungssystem gibt es zwei Sonderfälle: Entweder “keine Lösung” oder “unendlich viele Lösung”. Den Fall “keine Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf einen Widerspruch stößt (1=0 oder 3=7 oder …). Den Fall “unendlich viele Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf eine wahre Aussage stößt (0=0 oder 3=3 oder …).


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Matrizen und LGS: LGS lösen: eindeutige Lösung mit Gauß-Verfahren | M.02.01

Um die Lösung eines LGS zu erhalten (sprich: den Lösungsvektor), wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem genau so viele Gleichungen hat wie Unbekannte und NACH dem Gauß-Verfahren nirgends in der Diagonale eine Null steht, erhält man für jede der Unbekannten genau eine Lösung, man hat also eine “eindeutige Lösung”. Nun hat man die innere Harmonie des Universums wieder hergestellt und ist der Held des Tages.


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Matrizen und LGS: LGS lösen: eindeutige Lösung mit Gauß-Verfahren, Beispiel 2 | M.02.01

Um die Lösung eines LGS zu erhalten (sprich: den Lösungsvektor), wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem genau so viele Gleichungen hat wie Unbekannte und NACH dem Gauß-Verfahren nirgends in der Diagonale eine Null steht, erhält man für jede der Unbekannten genau eine Lösung, man hat also eine “eindeutige Lösung”. Nun hat man die innere Harmonie des Universums wieder hergestellt und ist der Held des Tages.


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Subtraktionsverfahren: so löst man Gleichungen mit zwei Unbekannten | G.02.04

Hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so spricht man von einem “Linearen Gleichungssystem” bzw. von einem 2x2 - LGS. Die Lösung über das sogenannte “Subtraktionsverfahren” läuft folgender Maßen: Man sucht sich eine beliebige Variable aus, z.B. “x”. Nun multipliziert man beide Gleichungen derart, dass vor dieser Variable die gleiche Zahl, und auch das gleiche Vorzeichen steht. Nehmen wir beispielsweise an, in einer Gleichung stand ursprünglich “2x”, in der anderen “3x”. Nun könnte man die erste Gleichung mit “3”, die zweite Gleichung mit “2” multiplizieren, denn dann steht beide Male “6x” da. Nun zieht man beide Gleichungen von einander ab. Im Ergebnis steht nun kein “x” mehr, sondern nur noch “y”, so dass man nach “y” auflösen kann.


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Gleichungen: Gleichungssysteme mit Sonderfällen: /keine Lösung/ oder /unendlich viele Lösungen/ Beispiel 1 | G.02.06

Bei einem Gleichungssystem gibt es zwei Sonderfälle: Entweder “keine Lösung” oder “unendlich viele Lösung”. Den Fall “keine Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf einen Widerspruch stößt (1=0 oder 3=7 oder …). Den Fall “unendlich viele Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf eine wahre Aussage stößt (0=0 oder 3=3 oder …).


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Matrizen und LGS: LGS lösen: eindeutige Lösung mit Gauß-Verfahren, Beispiel 1 | M.02.01

Um die Lösung eines LGS zu erhalten (sprich: den Lösungsvektor), wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem genau so viele Gleichungen hat wie Unbekannte und NACH dem Gauß-Verfahren nirgends in der Diagonale eine Null steht, erhält man für jede der Unbekannten genau eine Lösung, man hat also eine “eindeutige Lösung”. Nun hat man die innere Harmonie des Universums wieder hergestellt und ist der Held des Tages.


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Matrizen und LGS: LGS lösen: eindeutige Lösung mit Gauß-Verfahren, Beispiel 3 | M.02.01

Um die Lösung eines LGS zu erhalten (sprich: den Lösungsvektor), wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem genau so viele Gleichungen hat wie Unbekannte und NACH dem Gauß-Verfahren nirgends in der Diagonale eine Null steht, erhält man für jede der Unbekannten genau eine Lösung, man hat also eine “eindeutige Lösung”. Nun hat man die innere Harmonie des Universums wieder hergestellt und ist der Held des Tages.


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Matrizen und LGS: LGS lösen: keine Lösung, unlösbar, Widerspruch | M.02.03

Der schönste Fall in Mathe ist immer der Widerspruch (so was wie 0=1). Stößt man auf so einen, ist man immer fertig und weiß, dass es keine Lösung gibt. Das ist bei einem Gleichungssystem nicht anders. Wenn man während des Gauß-Verfahrens auf einen Widerspruch stößt kann man getrost aufhören. Das LGS ist unlösbar.


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