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MatheGuru

Partielle Integration

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. Hier wird die Methode der partiellen Integration erläutert.

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Integrand

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. Dieser Link führt Sie zu einer Erläuterung des Integranden.

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MatheGuru

Herangehensweise an die Integration

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. An dieser Stelle wird Schritt für Schritt das Integrieren erklärt und an Beispielen gezeigt.

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Rotationsvolumen berechnen, Beispiel 4 | A.18.06

Bei Rotation einer Funktion um die x-Achse, entsteht meist ein komischer Rotationskörper, der keinen Namen (was diesen natürlich psychisch sehr belastet). Diesen berechnet man mit einer einfachen Formel, die besagt, dass man die Funktion zuerst quadriert, dann erst integriert. Integralgrenzen einsetzen und das Ergebnis mit Pi multiplizieren. (Rotiert eine Funktion um die y-Achse, macht man das Gleiche mit der Umkehrfunktion. Dieses wird hier nicht erklärt.)


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Polynom bzw. ganzrationale Funktion integrieren; Polynom-Integral bilden, Beispiel 2 | A.14.01

Wie lässt sich ein Polynom ableiten: Polynome (ganzrationale Funktion oder auch Parabeln höherer Ordnung) integriert man (man sagt auch aufleiten) nach einer einfachen Formel. Die Hochzahl wird um eins erhöht, die neue Hochzahl kommt runter in den Nenner(!) und wird mit den eventuell vorhandenen Vorzahlen verrechnet.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Wurzel integrieren; Brüche integrieren, Beispiel 2 | A.14.02

Viele Wurzeln und Brüche kann man so umschreiben, so dass die Ableitung wesentlich einfacher wird. Brüche: Wenn oben im Zähler kein “x” steht, sondern nur Zahlen und unten im Nenner weder “+” noch “-”, kann man “x” von unten aus dem Nenner hoch in den Zähler bringen, indem man das Vorzeichen der Hochzahl wechselt. Wurzeln: man schreibt die Wurzel um, und zwar in Klammer hoch 0,5. Dritte Wurzeln werden zu “x” hoch “ein Drittel”,...


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Logarithmus-Funktion integrieren bzw. Stammfunktion bilden | A.14.04

Einen ganz bestimmten Typ von Funktionen, kann man mit den “normalen” Integrationsregeln nicht bearbeiten. Es um Brüche, die oben nur eine Zahl stehen haben, unten einen Term der Form: “m*x+b” und KEINE Hochzahl. In diesem Fall ist das wesentliche Element der Stammfunktion der ln (Logarithmus zu Basis e).


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Mit der Produkt-Integration eine Funktion mit zwei Faktoren integrieren | 14.05

Wenn man die Stammfunktion von einem Produkt braucht, so benötigt man eine spezielle Regel, nämlich die Produktregel für die Aufleitung. Diese heißt “Produktintegration” oder auch “partielle Integration”. Diese Produkt-Integration ist eine Umkehrung der Produktregel für die Ableitung.


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Fläche berechnen zwischen Funktion und x-Sachse, Beispiel 1 | A.18.02

Berechnet man den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-Achse, integriert man diese Funktion und setzt die Integralgrenzen in die Stammfunktion ein. Die Integralgrenzen sind entweder die Nullstellen oder sie sind in der Aufgabenstellung gegeben.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen; eingeschlossene Fläche, Beispiel 1 | A.18.03

Braucht man die Fläche zwischen zwei Funktionen, berechnet man das Integral von der Differenz beider Funktionen. (Man zieht die Funktionen also voneinander ab und leitet das Ergebnis auf). Die Integralgrenzen sind entweder die Schnittpunkte der Funktionen oder sie sind in der Aufgabenstellung gegeben. Zum Schluss setzt man beide Grenzen in die “Aufleitung” ein und zieht die Ergebnisse von einander ab.


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