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Matrizen und LGS: Matrix lösen: unendlich viele Lösung mit Gauß-Verfahren, Beispiel 2 | M.02.05

Um die Lösung einer Matrix zu erhalten, wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte hat (es also zwei oder noch weniger Zeilen gibt wie Spalten) oder man in der Diagonale eine Null erhält, erhält man (meist) “unendlich viele Lösungen” (auch “mehrdeutige Lösung” genannt). Man wählt nun für eine der Unbekannten “t” (oder einen anderen Parameter) und bestimmt nun alle Unbekannten in Abhängigkeit von diesem Parameter. Im seltenen Fall, dass man eine Nullzeile UND eine Widerspruch-Zeile (0=1) erhält, gewinnt der Widerspruch, der ist nämlich hinterhältig und gemein und muss in Mathe IMMER recht haben (also keine Lösung!).


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Additionsverfahren: so löst man Gleichungen mit zwei Unbekannten - G.02.01

Hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so spricht man von einem "Linearen Gleichungssystem" bzw. von einem 2x2 - LGS. Die Lösung über das sogenannte "Additionsverfahren" läuft folgender Maßen: Man sucht sich eine beliebige Variable aus, z.B. "x". Nun multipliziert man beide Gleichungen derart, dass vor dieser Variable die gleiche Zahl, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen. Nehmen wir beispielsweise an, in einer Gleichung stand ursprünglich "2x", in der anderen "3x". Nun könnte man die erste Gleichung mit "-3", die zweite Gleichung mit "2" multiplizieren, denn dann steht einmal "-6x" und einmal "6x" da. Nun addiert man beide Gleichungen. Im Ergebnis steht nun kein "x" mehr, sondern nur noch "y", so dass man nach "y" auflösen kann.


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MatheGuru

Determinante

Mit über 150 Artikeln und über 100 interaktiven Übungen gehört MatheGuru.com zu den umfangreichsten Mathematikseiten im deutschsprachigen Internet. Zahlreiche farbige Abbildungen visualisieren die einzelnen Sachverhalte und helfen beim Verständnis. Hier wird erklärt, was eine Determinante ist und wie sie berechnet werden kann.

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Matrizen und LGS: LGS lösen: unendlich viele Lösungen mit Gauß-Verfahren, Beispiel 1 | M.02.02

Um die Lösung eines LGS zu erhalten, wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte hat oder eine Nullzeile erhält, erhält man (meist) “unendlich viele Lösungen” (auch “mehrdeutige Lösung” genannt). Man wählt nun für eine der Unbekannten “t” (oder einen anderen Parameter) und bestimmt nun alle Unbekannten in Abhängigkeit von diesem Parameter. Im seltenen Fall, dass man eine Nullzeile UND eine Widerspruch-Zeile (0=1) erhält, gewinnt der Widerspruch, der ist nämlich hinterhältig und gemein und muss in Mathe IMMER recht haben (also keine Lösung!).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Geradengleichung über Normalform aus zwei Punkten bestimmen, Beispiel 2 | A.02.11

Kennt man von einer Geraden zwei Punkte (durch welche die Gerade geht), kann man die Geradengleichung recht einfach bestimmen. Eine der Möglichkeiten wäre die Koordinaten der Punkte für “x” und “y” in die Geradengleichung: “y=m*x+b” ein. Durch das Einsetzen jedes Punktes erhält man je eine Gleichung (also ein Gleichungssystem mit “m” und “b” als Unbekannte). Zieht man die beiden Gleichungen von einander ab (man macht praktisch ein Subtraktionsverfahren vom LGS), erhält man “m” und danach auch “b”.


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Additionsverfahren: so löst man Gleichungen mit zwei Unbekannten, Beispiel 1 | G.02.01

Hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gegeben, so spricht man von einem “Linearen Gleichungssystem” bzw. von einem 2x2 - LGS. Die Lösung über das sogenannte “Additionsverfahren” läuft folgender Maßen: Man sucht sich eine beliebige Variable aus, z.B. “x”. Nun multipliziert man beide Gleichungen derart, dass vor dieser Variable die gleiche Zahl, aber mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen. Nehmen wir beispielsweise an, in einer Gleichung stand ursprünglich “2x”, in der anderen “3x”. Nun könnte man die erste Gleichung mit “-3”, die zweite Gleichung mit “2” multiplizieren, denn dann steht einmal “-6x” und einmal “6x” da. Nun addiert man beide Gleichungen. Im Ergebnis steht nun kein “x” mehr, sondern nur noch “y”, so dass man nach “y” auflösen kann.


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Gleichungen: Gleichungssysteme mit Sonderfällen: /keine Lösung/ oder /unendlich viele Lösungen/ | G.02.06

Bei einem Gleichungssystem gibt es zwei Sonderfälle: Entweder “keine Lösung” oder “unendlich viele Lösung”. Den Fall “keine Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf einen Widerspruch stößt (1=0 oder 3=7 oder …). Den Fall “unendlich viele Lösung” erhält man, wenn man beim Verrechnen der beiden Gleichungen auf eine wahre Aussage stößt (0=0 oder 3=3 oder …).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Bedingungen aufstellen | A.46.05

Um Polynome aufzustellen gibt es eigentlich nur drei Typen von Informationen: 1). Punkte. In diesem Fall setzt man x- und y-Wert in f(x) ein [=Inzidenzbedingung]. 2).Steigungen. In diesem Fall setzt man x-Wert und Steigung in f'(x) ein. 3). Hoch-, Tief- oder Wendepunkt. In diesem Fall setzt man f'(x)=0 bzw. f''(x)=0 und setzt für x den entsprechenden x-Wert ein. Hat man dies alles getan erhält man ein Gleichungssystem, welches man lösen muss. Eine Erweiterung dessen ist der Fall, dass zwei Funktionen in einander übergehen sollen. (Nennen wir die Funktionen f(x) und g(x).) Der x-Wert des Übergangs ist eigentlich immer bekannt, wir nennen ihn x=a. Eine der Funktionen ist gegeben, die andere muss aufgestellt werden (=modelliert werden). 1).Gehen die Funktionen nur in einander über, gilt f(a)=g(a) [dieser Fall tritt de facto nie auf]. 2).Gehen die Funktionen “glatt” oder “knickfrei” in einander über, so gilt: f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a). 3).Gehen die Funktionen “ruckfrei” in einander über, so gilt f(a)=g(a) und f'(a)=g'(a) und f''(a)=g''(a)


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Matrizen und LGS: LGS lösen: unendlich viele Lösungen mit Gauß-Verfahren, Beispiel 2 | M.02.02

Um die Lösung eines LGS zu erhalten, wendet man natürlich das Gauß-Verfahren an. Wenn man bei einem Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte hat oder eine Nullzeile erhält, erhält man (meist) “unendlich viele Lösungen” (auch “mehrdeutige Lösung” genannt). Man wählt nun für eine der Unbekannten “t” (oder einen anderen Parameter) und bestimmt nun alle Unbekannten in Abhängigkeit von diesem Parameter. Im seltenen Fall, dass man eine Nullzeile UND eine Widerspruch-Zeile (0=1) erhält, gewinnt der Widerspruch, der ist nämlich hinterhältig und gemein und muss in Mathe IMMER recht haben (also keine Lösung!).


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Matrizen und LGS: Matrix lösen: keine Lösung, unlösbar, Widerspruch | M.02.06

Der schönste Fall in Mathe ist immer der Widerspruch (so was wie 0=1). Stößt man auf so einen, ist man immer fertig und weiß, dass es keine Lösung gibt. Das ist bei einem Gleichungssystem nicht anders. Wenn man während des Gauß-Verfahrens auf einen Widerspruch stößt kann man getrost aufhören. Die Matrix ist unlösbar.


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