Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung, Beispiel 6 | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 4 | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung berechnen, Beispiel 4 | A.30.06

Die Differenzialgleichung vom begrenzten Wachstum (=beschränkten Wachstum) lautet: f'(t)=k*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Logistisches Wachstum berechnen, Beispiel 2 | A.30.07

Logistisches Wachstum beschreibt die meisten Wachstumsprozesse aus unserer Umwelt. Eigentlich wird fast jedes Wachstum welches irgendwie mit Lebewesen zu tun hat, durch logistisches Wachstum beschrieben. Das kann das Wachstum von Pflanzen sein, Bevölkerungswachstum, Entwicklung einer Population, etc.. Für die Funktionsgleichung vom logistischen Wachstum gibt es leider recht viele Möglichkeiten. f(t)=b/(c+e^(-k*G*t)) oder f(t)=(a*G)/(a+(G-a)*e^(-k*G*t)). Wir werden hier mit der zweiten Variante rechnen, da in dieser Variante alle Parameter eine Bedeutung haben: a=Anfangswert, G=Grenze, k=Wachstumskonstante.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Logistisches Wachstum mit Differentialgleichung berechnen, Beispiel 1 | A.30.08

Die Differenzialgleichung vom logistischen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t)*(G-f(t)). f'(t) ist die Zunahme (oder Abnahme) des Bestandes, G-f(t) heißt Sättigungsmanko und ist der Wert um welchen der Bestand noch zu- oder abnehmen kann (also die Differenz von Grenze und aktuellem Bestand). Damit sagt die Differenzialgleichung aus, dass die momentane Änderung des Bestands proportional zum aktuellen Bestand und zum Sättigungsmanko ist. Die Parameter “k” und “G” tauchen auch in der Funktionsgleichung auf und heißen: k=Wachstumsfaktor=Proportionalitätsfaktor, G=Grenze=S=Schranke.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 3 | A.07.03

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Die Berechnung von begrenztem Wachstum erfolgt über eine Tabelle und Schritt für Schritt, d.h. aus einem Bestand berechnen wir den Bestand vom nächsten Tag/Jahr/Minute/..., daraus dann den übernächsten Bestand usw. Wir verwenden hierbei die Formel dB(t)=k*(G-B(t)), wobei B(t) der aktuelle Bestand ist, G die Grenze, k irgendein Wachstumsfaktor, dB(t) die Zunahme im aktuellen Zeitintervall. (In der Oberstufe/Studium erfolgt dann eine geschicktere Berechnung über e-Funktionen [Kap.A.30.05]) .


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Polynome über Nullstellen aufstellen | A.46.04

Kennt man die Nullstellen einer Funktion (z.B. x1, x2, x3, …), kann man die Linearfaktorzerlegung der Funktion aufstellen. Also f(x)=a·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·... Den Parameter “a” erhält man über die Punktprobe mit einem beliebigen Punkt. Nun hat man die Funktionsgleichung. Falls man möchte, kann man auch noch alle Klammern auflösen.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Exponentialfunktion: Rechenbeispiele zur Funktionsanalyse | A.41.11

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte und fertigen eine Skizze.)


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Periode von trigonometrischen Funktionen berechnen, Beispiel 2 | A.42.01

Normalerweise wiederholen sich trigonometrische Funktionen innerhalb einer Periode. Die Periode einer Sinus- oder Kosinus-Funktion liegt bei 2*Pi (Pi=3,1415...), die der Tangens-Funktion bei Pi. Allgemein hat eine Funktion der Form f(x)=a*sin(b(x-c))+d oder g(x)=a*cos(b(x-c))+d die Periode von Per=2*Pi/b. Bei komplizierteren Funktionen kann die Periode teilweise nicht mehr so einfach angegeben werden.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Einfache trigonometrische Gleichungen lösen, Beispiel 3 | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


Dieses Material ist Teil einer Sammlung