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Nullstellen von komplizierten Exponentialfunktionen berechnen | A.41.02

Bei nicht so ganz einfachen Exponentialgleichungen kann man eigentlich nur ausklammern (den Satz vom Nullprodukt anwenden) oder substituieren. Eventuell muss man auch zuerst mit dem Nenner multiplizieren und erst dann Substitution anwenden,


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision, Beispiel 1 | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Ausklammern von etwas was gar nicht im Term vorhanden ist, Beispiel 2 | B.01.04

Selten muss man aus Termen sogar irgend etwas ausklammern, was da gar nicht existiert. Nicht schlimm. Das was man ausklammert schreibt man in den Nenner, unter den Term.


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Terme multiplizieren bzw. ausmultiplizieren, Beispiel 1 - B.01.01

Wenn man zwei Terme miteinander multipliziert, so muss man einfach jeden Term der einen Klammer mit jedem Term der anderen Klammer multiplizieren.


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Terme multiplizieren bzw. ausmultiplizieren, Beispiel 3 - B.01.01

Wenn man zwei Terme miteinander multipliziert, so muss man einfach jeden Term der einen Klammer mit jedem Term der anderen Klammer multiplizieren.


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Quadratische Gleichungen mit der Form ax²+bx=0 lösen, Beispiel 1 | G.04.04

Falls in einer quadratischen Gleichung keine Zahl ohne “x” steht, falls die Gleichung also die Form hat: “ax²+bx=0”, klammert man am einfachsten ein “x” aus. Nun ist x=0 oder die Klammer ist Null. Die klammer löst man nach “x” auf und hat die zweite Lösung für x. Das Ganze nennt sich “Satz vom Nullprodukt” (SNP) und ist eigentlich ein Sonderfall der “Lösung über Linearfaktoren” (Kap. G.04.01). (Natürlich kann man auch die Mitternachtsformel anwenden, aber die ist komplizierter.)


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Höhere Gleichungen lösen, Beispiel 4 | G.05.03

Wie wir bereits vorher bereits erwähnten, gibt es drei Möglichkeiten eine Gleichung zu lösen: 1. “x” ausklammern, 2. a-b-c-Formel/p-q-Formel, 3. Substitution. (Es gibt noch eine vierte Möglichkeit: die Polynomdivision, die ist an dieser Stelle relativ unwichtig). Wir werden hier die schlimmsten Gleichungen des Universums in Nullkommanichts lösen. Wir machen sie platt. Wir machen die Gleichungen hier so klein, dass die glauben, sie wären keine Gleichungen sondern kleine Abwaschlappen vom Pizzaservice. WIR SIND DIE GLEICHUNGSTOTMACHER!


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Mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichungen lösen, Beispiel 1 | G.05.01

Den Begriff “Satz vom Nullprodukt” (Abkürzung “SNP” oder “SvN”) müssen Sie nicht kennen. Sie müssen nur wissen, wie man ihn rechnet. Ein anderer Begriff für SNP könnte auch “Ausklammern” sein. Die zentrale Idee ist ja auch “x” oder “x^2” oder … auszuklammern, wenn es sich ausklammern lässt. Damit ist eine Lösung: “x=0” und der Rest der Gleichung wird viel einfacher.


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Linearfaktorzerlegung über Nullstellen, Satz von Vieta - B.05.02

Wenn man bei der Linearfaktorzerlegung weder Ausklammern kann, noch eine binomische Formel anwenden kann, so hat man noch eine Chance. Man kann die Zerlegung über die Nullstellen versuchen. Dazu braucht man natürlich die Nullstellen der Funktion. Nehmen wir an, die Nullstellen sind x1, x2, x3, … und die Zahl vor der höchsten Potenz heißt "a". Nun kann man die Funktion umschreiben in f(x)=a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*... Einen Haken gibt es: das Ganze funktioniert nur, wenn es genau so viele Nullstellen gibt, wie die höchste Potenz der Funktion.


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Gleichungen auf Normalform bringen, Beispiel 4 - A.12.01

Um eines der Lösungsverfahren anwenden zu können (Ausklammern, Mitternachtsformel, Substitition oder Polynomdivision / Horner-Schema) muss man jede Gleichung erst auf Normalform bringen. D.h.: alle Nenner müssen weg (man multipliziert mit diesen), eventuell vorhandene Klammern muss man auflösen, Terme die zusammengefasst werden können muss man zusammenfassen, alles muss auf eine Seite gebracht werden, damit auf der anderen Seite "=0" steht.


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