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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Aus dem Schaubild einer Exponentialfunktion die Funktionsgleichung erstellen, Beispiel 1 | A.41.10.

Normalerweise hat man die gesuchte Funktion in Abhängigkeit von einem (oder mehreren) Parameter gegeben. Man sucht ein paar Punkte, die man gut aus dem Schaubild ablesen kann und setzt die in die Funktion ein. Eventuell man das auch mit Asymptoten machen. Damit sollte man die Parameter erhalten.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: Rechenbeispiele zur Funktionsanalyse, Beispiel 2 | A.41.11

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen: kurze Einführung | A.42

Trigonometrische Funktionen sind periodisch, wiederholen sich also in regelmäßigen Abständen. Der Abstand, bis es zur nächsten Wiederholung kommt, nennt sich Periode. Die wichtigsten periodischen Funktionen der Trigonometrie sind die Sinus, die Kosinus und die Tangens-Funktion (abgekürzt; sin(x), cos(x), tan(x)). Unwichtige periodische Funktionen sind Kotangens, Sekans und Kosekans (cot(x), sec(x), cosec(x)).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Einfache trigonometrische Gleichungen lösen | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Zweite Lösung einer trigonometrischen Gleichung bestimmen | A.42.03

Wenn man eine Gleichung in der Trigonometrie von Hand lösen muss (bzw. mit einem einfachen Taschenrechner), steht man normalerweise irgendwann mal vor dem Problem, dass der Taschenrechner einem eine einzige Lösung liefert. Tatsächlich gibt es jedoch normalerweise schon innerhalb einer einzigen Periode zwei Lösungen. Wie kommt man auf die zweite Lösung? 1.Zuerst löst man nach sin(...) oder cos(...) auf. 2.Man substituiert das Argument (d.h. Man wendet Substitution an, in dem man das Innere der Klammer “u” nennt). 3.Man bestimmt mittels Taschenrechner oder Wertetabelle einen Wert von “u”. 4.(Der entscheidende Schritt) Bei sin: die zweite Lösung lautet: u2=Pi-u1. Bei cos: u2=-u1. 5.Man resubstituiert, um aus “u1” und “u2” die Werte “x1” und “x2” zu erhalten. 6.erhaltenen x-Werte kann man beliebig oft um je eine Periode nach links oder rechts verschieben (falls das notwendig ist).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen: Ableitung, Beispiel 1 | A.42.04

Trigonometrische Funktionen leitet man vom Prinzip sehr einfach ab. Sinus abgeleitet wird Kosinus, Kosinus abgeleitet ergibt den negativen Sinus. Kurz: sin'=cos, cos'=-sin. (Falls man Tangens differenzieren muss [=ableiten], schreibt man ihn um zu: tan=sin/cos und leitet diesen Bruch ab.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen: Ableitung, Beispiel 3 | A.42.04

Trigonometrische Funktionen leitet man vom Prinzip sehr einfach ab. Sinus abgeleitet wird Kosinus, Kosinus abgeleitet ergibt den negativen Sinus. Kurz: sin'=cos, cos'=-sin. (Falls man Tangens differenzieren muss [=ableiten], schreibt man ihn um zu: tan=sin/cos und leitet diesen Bruch ab.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte trigonometrische Funktion ableiten, Beispiel 4 | A.42.05

Bei hässlicheren trigonometrischen Funktionen kann in der Ableitung noch die Produktregel oder die Kettenregel (evtl. auch Quotientenregel) auftauchen. In der Theorie ist das auch schon alles. In der Praxis wird’s manchmal etwas hässlicher.


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