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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Periode von trigonometrischen Funktionen berechnen, Beispiel 1 | A.42.01

Normalerweise wiederholen sich trigonometrische Funktionen innerhalb einer Periode. Die Periode einer Sinus- oder Kosinus-Funktion liegt bei 2*Pi (Pi=3,1415...), die der Tangens-Funktion bei Pi. Allgemein hat eine Funktion der Form f(x)=a*sin(b(x-c))+d oder g(x)=a*cos(b(x-c))+d die Periode von Per=2*Pi/b. Bei komplizierteren Funktionen kann die Periode teilweise nicht mehr so einfach angegeben werden.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Einfache trigonometrische Gleichungen lösen, Beispiel 2 | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Einfache trigonometrische Gleichungen lösen, Beispiel 4 | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Zweite Lösung einer trigonometrischen Gleichung bestimmen, Beispiel 2 | A.42.03

Wenn man eine Gleichung in der Trigonometrie von Hand lösen muss (bzw. mit einem einfachen Taschenrechner), steht man normalerweise irgendwann mal vor dem Problem, dass der Taschenrechner einem eine einzige Lösung liefert. Tatsächlich gibt es jedoch normalerweise schon innerhalb einer einzigen Periode zwei Lösungen. Wie kommt man auf die zweite Lösung? 1.Zuerst löst man nach sin(...) oder cos(...) auf. 2.Man substituiert das Argument (d.h. Man wendet Substitution an, in dem man das Innere der Klammer “u” nennt). 3.Man bestimmt mittels Taschenrechner oder Wertetabelle einen Wert von “u”. 4.(Der entscheidende Schritt) Bei sin: die zweite Lösung lautet: u2=Pi-u1. Bei cos: u2=-u1. 5.Man resubstituiert, um aus “u1” und “u2” die Werte “x1” und “x2” zu erhalten. 6.erhaltenen x-Werte kann man beliebig oft um je eine Periode nach links oder rechts verschieben (falls das notwendig ist).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte trigonometrische Funktion ableiten, Beispiel 1 | A.42.05

Bei hässlicheren trigonometrischen Funktionen kann in der Ableitung noch die Produktregel oder die Kettenregel (evtl. auch Quotientenregel) auftauchen. In der Theorie ist das auch schon alles. In der Praxis wird’s manchmal etwas hässlicher.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 1 | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte trigonometrischen Funktionen integrieren, Beispiel 3 | A.42.07

Braucht man die Stammfunktion von besonders hässliche trigonometrischen Funktionen, kann man eigentlich nur die Produktintegration (=partielle Integration) anwenden oder die Integration durch Substitution. Vielleicht kann man auch den ein- oder anderen Trick anwenden.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer trigonometrischen Funktion erstellen, Beispiel 1 | A.42.09

Man beginnt mit der Mittellinie d und der Amplitude a. Mit deren Hilfe weiß man nun in welchem Bereich sich die Funktion bewegt (wie weit die Funktion hoch und wie weit sie runter geht). Es geht weiter mit c, womit man weiß, wo die Funktion “beginnt”. Als Letztes bestimmt man die Periode mit Hilfe von b. Nun kann man Hoch- und Tief- und die Wendepunkte bestimmen und damit die Funktion skizzieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer trigonometrischen Funktion erstellen, Beispiel 3 | A.42.09

Man beginnt mit der Mittellinie d und der Amplitude a. Mit deren Hilfe weiß man nun in welchem Bereich sich die Funktion bewegt (wie weit die Funktion hoch und wie weit sie runter geht). Es geht weiter mit c, womit man weiß, wo die Funktion “beginnt”. Als Letztes bestimmt man die Periode mit Hilfe von b. Nun kann man Hoch- und Tief- und die Wendepunkte bestimmen und damit die Funktion skizzieren.


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