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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Wissenswertes zu Funktionen | A.52

“Diverses” ist Sammelsurium von verschiedenen Themen. Allerdings mit Themen die etwas schwieriger sind und eher in den oberen Bereich der Oberstufe oder unteren Bereich der Hochschule gehören. Im ersten Unterkapitel vertiefen wir das Thema der senkrechten Asymptoten (Weiterführung von Kap. A.43.06), das zweite Unterkapitel beinhaltet eine “leichte” Regel für schwere Berechnungen von Grenzwerten. Das dritte Unterkapitel beinhaltet verschachtelte (=verkettete) Funktionen und im letzten Unterkapitel widmen wir uns den tollen Begriffen “injektiv, surjektiv und bijektiv.


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Hyperbel / Hyperbeln berechnen - A.06.02

Eine Funktion, die im Nenner (unten) eines Bruchs ein "x" stehen hat, ist eine Hyperbel. Die einfachsten Hyperbeln sind "1/x", "1/x²",... Da man solche Brüche mithilfe der Potenzregeln auch umschreiben kann, kann man auch sagen, dass Hyperbeln Funktionen sind, bei denen negative Hochzahlen auftauchen. Normalerweise nähern sich Hyperbeln einer waagerechten und einer senkrechten Gerade an (oft x- und y-Achse). Diese Geraden heißen dann Asymptoten. Sie müssen in der Lage sein, diese Asymptoten heraus zu finden (ob Sie dabei den Begriff "Asymptoten" verwenden, ist unwichtig) und Sie sollten die Funktionen grob skizzieren können.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Hyperbel / Hyperbeln berechnen, Beispiel 2 | A.06.02

Eine Funktion, die im Nenner (unten) eines Bruchs ein “x” stehen hat, ist eine Hyperbel. Die einfachsten Hyperbeln sind “1/x”, “1/x²”,... Da man solche Brüche mithilfe der Potenzregeln auch umschreiben kann, kann man auch sagen, dass Hyperbeln Funktionen sind, bei denen negative Hochzahlen auftauchen. Normalerweise nähern sich Hyperbeln einer waagerechten und einer senkrechten Gerade an (oft x- und y-Achse). Diese Geraden heißen dann Asymptoten. Sie müssen in der Lage sein, diese Asymptoten heraus zu finden (ob Sie dabei den Begriff “Asymptoten” verwenden, ist unwichtig) und Sie sollten die Funktionen grob skizzieren können.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Exponentialfunktion: was ist das? Wie rechnet man mit Exponentialfunktionen? | A.06.03

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in welcher die Unbekannte “x” in der Hochzahl steht. Die einfachen Exponentialfunktionen (2^x, 3^x, …) sehen alle so aus, dass die sich links der x-Achse nähern und rechts hoch ins Unendliche laufen. (Die x-Achse ist also eine Asymptote). Durch Verschieben, Strecken und Spiegeln der Funktionen ändert sich natürlich deren Aussehen. Sie müssen in der Lage sein, das Aussehen der Exponentialfunktionen grob zu erkennen. Eine weitere Fragestellung, der man bei Exponentialfunktionen häufig begegnet, ist Folgende: Von einer Funktion ist bekannt, dass sie die Form: y=a*b^x hat. Nun sind zwei Punkte gegeben und Sie müssen die Parameter “a” und “b” bestimmen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen / Bruchfunktion: Nullstellen berechnen | A.43.01

Die Schnittpunkte einer Bruchfunktion mit der x-Achse bestimmt man, in dem man die Funktion mit dem Nenner multipliziert. Damit ist man den Bruch los und führt die Berechnung der Nullstellen auf die eine viel einfachere ganzrationale Funktion zurück.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktion: kurze Einführung | A.44

Logarithmusfunktionen erkennt man typischerweise am Logarithmus. Das ist eine gute Erkenntnis. Typisch an der Skizze einer Logarithmusfunktion ist die senkrechte Asymptote, wobei die Funktion jedoch entweder nur links oder nur rechts der Asymptote existiert.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktion: waagerechte / senkrechte Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 3 | A.44.6

Fast jede ln-Funktion hat eine senkrechte Asymptote, die wenigsten haben jedoch waagerechte oder schiefe Asymptoten. Man braucht die Definitionsmenge und lässt nun x gegen die beiden Grenzen dieser Definitionsmenge laufen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer Logarithmusfunktion erstellen, Beispiel 2 | A.44.07

ln-Funktionen zeichnet man über das asymptotische Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs. Falls man Nullstellen oder Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt, zeichnet man diese ebenfalls ein und sollte nun die Funktion zeichnen können. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 3 | A.41.07

Um einen Grenzwert zu berechnen, lässt man in der Funktion x einmal gegen plus Unendlich und einmal gegen minus Unendlich laufen. e hoch unendlich geht gegen unendlich, e hoch minus unendlich geht gegen Null. Ist das Ergebnis eine Zahl, so ist dieses die waagerechte Asymptote.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion: Übungen und Beispiele | A.45.09

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von Wurzel-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Definitionsmenge, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.)


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