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Analysis 5 | Höhere Mathematik, wie man mit ihr rechnet und wer diese Themen beherrschen sollte

Im Hauptkapitel “4 Analysis - Höhere Mathematik” behandeln wir Themen, die hauptsächlich nach dem schriftlichen Abitur, bzw. hauptsächlich an der Hochschule behandelt werden. Einige, wenige Themen lernen Sie vielleicht auch VOR dem Abitur, jedoch die wenigsten hiervon.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 5 | A.51.01

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man eigentlich nicht mehr von der “Ableitung” sprechen, denn man muss schließlich präzisieren, ob man nach “x”, nach “y” oder was auch immer ableitet. Also spricht man von der “partiellen Ableitung nach x”, oder der “partiellen Ableitung nach y”, usw. Betrachtet man z.B. die Ableitung nach x (oder “Differenzierung” nach x, wie man es auch nennen kann), wird “x” als Variable betrachtet und alle anderen Buchstaben als Parameter (also als Zahl). Schreibt man sämtliche partiellen Ableitungen übereinander, wird das ein Vektor, der “Gradient” heißt. Die zweiten partiellen Ableitungen kann man der Übersicht halber als Matrix aufschreiben, welche “Hesse-Matrix” heißt.


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Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 4 | A.54.06

Um Wurzeln aus komplexen Zahlen zu ziehen, sollten diese Polarform haben. (Ggf. muss man die Zahl also erst in Polarform umwandeln). Will man nun die n-te Wurzel aus einer Zahl ziehen, so ist der neue Betrag die n-te Wurzel aus dem alten Betrag. Das neue Argument (=Winkel) erhält man, in dem man das alte Argument durch n teilt. Leider ist das nur EINE Lösung und beim Wurzelziehen gibt es immer mehrere Lösungen. Es gibt genau “n” Lösungen. Alle weiteren Lösungen erhält man, in dem man den Vollkreis (also 360° oder 2Pi) durch n teilt. Das Ergebnis zählt man beliebig oft zum Winkel der ersten Lösung dazu, bis man “n” Lösungen hat.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mehrdimensionale Funktion: Extrempunkte berechnen, Beispiel 4 | A.51.02

Extrempunkte einer mehrdimensionalen Funktion berechnet man (wie bei einfachen Funktionen auch), indem man die erste Ableitung Null setzt. Bei mehrdimensionalen Funktionen gibt es nicht EINE erste Ableitung mit einer Unbekannten, sondern mehrere (partielle) erste Ableitungen mit mehreren Unbekannten, so dass man immer mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten lösen muss. Das Überprüfen in der zweiten Ableitung (“Hesse-Matrix”) geht nach einem vorgegebenen Schema (wird im Hauptfilm erläutert).


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Annuitätenrechnung und Tilgungsrechnung: so berechnet man Annuitäten richtig, Beispiel 1 | A.55.03

Nimmt man einen Kredit auf, den man natürlich tilgen will, setzt sich das aus einer Zinseszinsrechnung und einer Rentenrechnung zusammen. Die Formel für die Berechnung des Endkapitals lautet: K(n)=K(0)*q^n-R*(q^n-1)/(q-1). K(n) ist das Endkapital, K(0) der anfängliche Kredit, R die regelmäßige Rate (=Annuität) und für q gilt q=1+p/100. (Bemerkung: Die Formel ist auch als “Sparkassenformel” oder “Investitionsrechnung” bekannt).


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Rentenrechnung: so rechnet man richtig | A.55.02

Wenn man z.B. monatlich einen bestimmten Betrag bei der Bank einzahlt und das Ganze verzinst wird, nennt man das Ratensparen oder Rentenrechnung oder Ratenzahlung. Das Endkapital “K” nach n Zeiteinheiten berechnet man mit der Formel: K=R*(q^n-1)/(q-1). “R” ist die regelmäßige Rate die einbezahlt wird, “q” ist der Wachstumsfaktor für den gilt: q=1+p/100. (Zumindest gilt die Formel bei nachschüssiger Verzinsung.) Bei vorschüssiger Verzinsung, wenn also die Rate am Anfang und die Verzinsung am Ende der Periode erfolgt, steht hinter dem Bruch noch ein “q”.


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Cardanische Formel zur Lösung einer Gleichung dritten Grades, Beispiel 1 | A.54.08

Es gibt tatsächlich eine Lösungsformel, mit welcher man Gleichungen dritten Grades lösen kann (ähnlich wie die p-q-Formel oder a-b-c-Formel bei quadratischen Gleichungen). Diese Formel heißt Cardanische Formel (oder Cardanische Lösungsformel). Sie ist ziemlich abgefahren, hässlich und lang. Desweiteren braucht man die Theorien der komplexen Zahlen dafür. Eigentlich braucht auch kein Mensch die Lösungsformel (grad weil sie so hässlich ist). Aber sie sollen ja nicht dumm sterben (und UNS hat das Filmen Spaß gemacht).


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Tangentialebene: Tangente einer mehrdimensionalen Funktion, Beispiel 3 | A.51.03

Eine Tangente ist bei einer Funktion mit mehreren Variablen keine Gerade, sondern eine Tangentialebene oder ein Tangentialraum (Letzteres brauchen Sie vermutlich nie). Es gibt recht viele Ansätze und Formeln dafür, die jedoch letztendlich alle auf das Gleiche führen. In jedem Fall braucht man die partiellen (ersten) Ableitungen der Funktion. Wir verwenden eine recht einfache Formel zur Berechnung.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mit L'Hospital Grenzwerte bestimmen, Beispiel 5 | A.52.02

L'Hospital wendet man an, wenn man für eine Grenzwertberechnung einen Bruch erhält in welchem sowohl Zähler als auch Nenner beide gegen Unendlich oder beide gegen Null gehen. Vorgehensweise: Man leitet Zähler und Nenner jeweils getrennt ab und betrachtet den neuen Bruch (ggf. nochmals die L'Hospitalsche Regel anwenden).


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